最優(yōu)二叉樹(shù)

1．樹(shù)的路徑長(zhǎng)度???? 　

樹(shù)的路徑長(zhǎng)度是從樹(shù)根到樹(shù)中每一結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度之和。在結(jié)點(diǎn)數(shù)目相同的二叉樹(shù)中，完全二叉樹(shù)的路徑長(zhǎng)度最短。

2．樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度(Weighted Path Length of Tree，簡(jiǎn)記為WPL)?　　

結(jié)點(diǎn)的權(quán)：在一些應(yīng)用中，賦予樹(shù)中結(jié)點(diǎn)的一個(gè)有某種意義的實(shí)數(shù)。?　

　結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度：結(jié)點(diǎn)到樹(shù)根之間的路徑長(zhǎng)度與該結(jié)點(diǎn)上權(quán)的乘積。?　

　樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度(Weighted Path Length of Tree)：定義為樹(shù)中所有葉結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度之和，通常記為：??????????????????????

其中：??????????? n表示葉子結(jié)點(diǎn)的數(shù)目???? w_i和l_i分別表示葉結(jié)點(diǎn)k_i的權(quán)值和根到結(jié)點(diǎn)k_i之間的路徑長(zhǎng)度。

??? 樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度亦稱為樹(shù)的代價(jià)。

?

3．最優(yōu)二叉樹(shù)或哈夫曼樹(shù)????

　在權(quán)為w_l，w₂，…，w_n的n個(gè)葉子所構(gòu)成的所有二叉樹(shù)中，帶權(quán)路徑長(zhǎng)度最小(即代價(jià)最小)的二叉樹(shù)稱為最優(yōu)二叉樹(shù)或哈夫曼樹(shù)。 ?

【例】給定4個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)a，b，c和d，分別帶權(quán)7，5，2和4。構(gòu)造如下圖所示的三棵二叉樹(shù)(還有許多棵)，它們的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度分別為： ??????? (a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36 ??????? (b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46 ??????? (c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35 　

其中(c)樹(shù)的WPL最小，可以驗(yàn)證，它就是哈夫曼樹(shù)。???????

?

?

??注意：???? ① 葉子上的權(quán)值均相同時(shí)，完全二叉樹(shù)一定是最優(yōu)二叉樹(shù)，否則完全二叉樹(shù)不一定是最優(yōu)二叉樹(shù)。???

? ② 最優(yōu)二叉樹(shù)中，權(quán)越大的葉子離根越近。 ???

③ 最優(yōu)二叉樹(shù)的形態(tài)不唯一，WPL最小

?

?構(gòu)造最優(yōu)二叉樹(shù)

?1．哈夫曼算法????　

哈夫曼首先給出了對(duì)于給定的葉子數(shù)目及其權(quán)值構(gòu)造最優(yōu)二叉樹(shù)的方法，故稱其為哈夫曼算法。其基本思想是：?　

?

　(1)根據(jù)給定的n個(gè)權(quán)值w_l，w₂，…，w_n構(gòu)成n棵二叉樹(shù)的森林F={T₁，T₂，…，T_n}，其中每棵二叉樹(shù)T_i中都只有一個(gè)權(quán)值為w_i的根結(jié)點(diǎn)，其左右子樹(shù)均空。?　

　(2)在森林F中選出兩棵根結(jié)點(diǎn)權(quán)值最小的樹(shù)(當(dāng)這樣的樹(shù)不止兩棵樹(shù)時(shí)，可以從中任選兩棵)，將這兩棵樹(shù)合并成一棵新樹(shù)，為了保證新樹(shù)仍是二叉樹(shù)，需要增加一個(gè)新結(jié)點(diǎn)作為新樹(shù)的根，并將所選的兩棵樹(shù)的根分別作為新根的左右孩子(誰(shuí)左，誰(shuí)右無(wú)關(guān)緊要)，將這兩個(gè)孩子的權(quán)值之和作為新樹(shù)根的權(quán)值。?　

　(3)對(duì)新的森林F重復(fù)(2)，直到森林F中只剩下一棵樹(shù)為止。這棵樹(shù)便是哈夫曼樹(shù)。??? 用哈夫曼算法構(gòu)造哈夫曼樹(shù)的過(guò)程見(jiàn)【動(dòng)畫(huà)演示】。

??注意：???? ① 初始森林中的n棵二叉樹(shù)，每棵樹(shù)有一個(gè)孤立的結(jié)點(diǎn)，它們既是根，又是葉子???

? ② n個(gè)葉子的哈夫曼樹(shù)要經(jīng)過(guò)n-1次合并，產(chǎn)生n-1個(gè)新結(jié)點(diǎn)。最終求得的哈夫曼樹(shù)中共有2n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。???? ③ 哈夫曼樹(shù)是嚴(yán)格的二叉樹(shù)，沒(méi)有度數(shù)為1的分支結(jié)點(diǎn)。??

?

???2．哈夫曼樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)及哈夫曼算法的實(shí)現(xiàn)

（1） 哈夫曼樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)???? 用一個(gè)大小為2n-1的向量來(lái)存儲(chǔ)哈夫曼樹(shù)中的結(jié)點(diǎn)，其存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)為：??

#define n 100 //葉子數(shù)目??

#define m 2*n-1//樹(shù)中結(jié)點(diǎn)總數(shù)??

typedef struct

{ //結(jié)點(diǎn)類(lèi)型?????? float weight； //權(quán)值，不妨設(shè)權(quán)值均大于零??????

int lchild，rchild，parent； //左右孩子及雙親指針????

}HTNode；??

typedef HTNode HuffmanTree[m]；

//HuffmanTree是向量類(lèi)型

?

??注意：???? 　因?yàn)镃語(yǔ)言數(shù)組的下界為0，故用-1表示空指針。樹(shù)中某結(jié)點(diǎn)的lchild、rchild和parent不等于-1時(shí)，它們分別是該結(jié)點(diǎn)的左、右孩子和雙親結(jié)點(diǎn)在向量中的下標(biāo)。????

　這里設(shè)置parent域有兩個(gè)作用：其一是使查找某結(jié)點(diǎn)的雙親變得簡(jiǎn)單；其二是可通過(guò)判定parent的值是否為-1來(lái)區(qū)分根與非根結(jié)點(diǎn)。

（2）哈夫曼算法的簡(jiǎn)要描述????

　在上述存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)上實(shí)現(xiàn)的哈夫曼算法可大致描述為(設(shè)T的類(lèi)型為HuffmanTree)：?　

(1)初始化????　 將T[0．．m-1]中2n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)里的三個(gè)指針均置為空(即置為-1)，權(quán)值置為0。

　(2)輸人???? 　讀人n個(gè)葉子的權(quán)值存于向量的前n個(gè)分量(即T[0．．n-1])中。它們是初始森林中n個(gè)孤立的根結(jié)點(diǎn)上的權(quán)值。

　(3)合并???? 　對(duì)森林中的樹(shù)共進(jìn)行n-1次合并，所產(chǎn)生的新結(jié)點(diǎn)依次放人向量T的第i個(gè)分量中(n≤i≤m-1)。

每次合并分兩步：???? 　①在當(dāng)前森林T[0．．i-1]的所有結(jié)點(diǎn)中，選取權(quán)最小和次小的兩個(gè)根結(jié)點(diǎn)[p1]和T[p2]作為合并對(duì)象，這里0≤p1，p2≤i-1。???? 　

② 將根為T(mén)[p1]和T[p2]的兩棵樹(shù)作為左右子樹(shù)合并為一棵新的樹(shù)，新樹(shù)的根是新結(jié)點(diǎn)T[i]。具體操作：?　　將T[p1]和T[p2]的parent置為i，?　　將T[i]的lchild和rchild分別置為p1和p2?　　新結(jié)點(diǎn)T[i]的權(quán)值置為T(mén)[p1]和T[p2]的權(quán)值之和。

?

??注意：????　 合并后T[pl]和T[p2]在當(dāng)前森林中已不再是根，因?yàn)樗鼈兊碾p親指針均已指向了T[i]，所以下一次合并時(shí)不會(huì)被選中為合并對(duì)象。
哈夫曼算法模擬演示過(guò)程【參見(jiàn)動(dòng)畫(huà)模擬】

?

（3）哈夫曼算法的求精?? v

oid CreateHuffmanTree(HuffmanTree T)???

? {//構(gòu)造哈夫曼樹(shù)，T[m-1]為其根結(jié)點(diǎn)????

?? int i，p1，p2；????

?? InitHuffmanTree(T)； //將T初始化??????

InputWeight(T)； //輸入葉子權(quán)值至T[0．．n-1]的weight域?????

? for(i=n；i<m；i++){//共進(jìn)行n-1次合并，新結(jié)點(diǎn)依次存于T[i]中??????????

SelectMin(T，i-1，&p1，&p2)；?????????? //在T[0．．i-1]中選擇兩個(gè)權(quán)最小的根結(jié)點(diǎn)，其序號(hào)分別為p1和p2?????????

? T[p1].parent=T[p2].parent=i；?????????? TIi].1child=p1； //最小權(quán)的根結(jié)點(diǎn)是新結(jié)點(diǎn)的左孩子?????????? T[j].rchild=p2； //次小權(quán)的根結(jié)點(diǎn)是新結(jié)點(diǎn)的右孩子????????

?? T[i].weight=T[p1].weight+T[p2].weight；???????

? } // end for????

}
上述算法中調(diào)用的三個(gè)函數(shù)【參見(jiàn)練習(xí)】。

【例】以7個(gè)權(quán)值：7，5，1，4，8，10，20為例，執(zhí)行CreateHuffmanTree求最優(yōu)二叉樹(shù)的過(guò)程【參見(jiàn)動(dòng)畫(huà)模擬】

?

?

哈夫曼編碼：

1． 編碼和解碼???? 　

數(shù)據(jù)壓縮過(guò)程稱為編碼。即將文件中的每個(gè)字符均轉(zhuǎn)換為一個(gè)惟一的二進(jìn)制位串。???? 　數(shù)據(jù)解壓過(guò)程稱為解碼。即將二進(jìn)制位串轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的字符。

?

根據(jù)最優(yōu)二叉樹(shù)構(gòu)造哈夫曼編碼????

　利用哈夫曼樹(shù)很容易求出給定字符集及其概率(或頻度)分布的最優(yōu)前綴碼。哈夫曼編碼正是一種應(yīng)用廣泛且非常有效的數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)。該技術(shù)一般可將數(shù)據(jù)文件壓縮掉20％至90％，其壓縮效率取決于被壓縮文件的特征。

1． 具體做法

（1）用字符c_i作為葉子，p_i或f_i做為葉子c_i的權(quán)，構(gòu)造一棵哈夫曼樹(shù)，并將樹(shù)中左分支和右分支分別標(biāo)記為0和1；

（2）將從根到葉子的路徑上的標(biāo)號(hào)依次相連，作為該葉子所表示字符的編碼。該編碼即為最優(yōu)前綴碼（也稱哈夫曼編碼）。

2． 哈夫曼編碼為最優(yōu)前綴碼???

? 　由哈夫曼樹(shù)求得編碼為最優(yōu)前綴碼的原因：?　　

① 每個(gè)葉子字符c_i的碼長(zhǎng)恰為從根到該葉子的路徑長(zhǎng)度l_i，平均碼長(zhǎng)(或文件總長(zhǎng))又是二叉樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度WPL。而哈夫曼樹(shù)是WPL最小的二叉樹(shù)，因此編碼的平均碼長(zhǎng)(或文件總長(zhǎng))亦最小。?　

　② 樹(shù)中沒(méi)有一片葉子是另一葉子的祖先，每片葉子對(duì)應(yīng)的編碼就不可能是其它葉子編碼的前綴。即上述編碼是二進(jìn)制的前綴碼。

3． 求哈夫曼編碼的算法

（1）思想方法?　???

給定字符集的哈夫曼樹(shù)生成后，求哈夫曼編碼的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程是：依次以葉子T[i](0≤i≤n-1)為出發(fā)點(diǎn)，向上回溯至根為止。上溯時(shí)走左分支則生成代碼0，走右分支則生成代碼1。???

?

注意：?　

　① 由于生成的編碼與要求的編碼反序，將生成的代碼先從后往前依次存放在一個(gè)臨時(shí)向量中，并設(shè)一個(gè)指針start指示編碼在該向量中的起始位置（start初始時(shí)指示向量的結(jié)束位置）。?　　

② 當(dāng)某字符編碼完成時(shí)，從臨時(shí)向量的start處將編碼復(fù)制到該字符相應(yīng)的位串bits中即可。?　

　③ 因?yàn)樽址笮閚，故變長(zhǎng)編碼的長(zhǎng)度不會(huì)超過(guò)n，加上一個(gè)結(jié)束符'\0'，bits的大小應(yīng)為n+1。

（2）字符集編碼的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)及其算法描述??

typedef struct

{?????

? char ch； //存儲(chǔ)字符?????

? char bits[n+1]； //存放編碼位串????

}CodeNode；

? typedef CodeNode HuffmanCode[n]；?

? void CharSetHuffmanEncoding(HuffmanTree T，HuffmanCode H)?????

{//根據(jù)哈夫曼樹(shù)T求哈夫曼編碼表H?????

? int c，p，i;//c和p分別指示T中孩子和雙親的位置????

?? char cd[n+1]； //臨時(shí)存放編碼????

?? int start； //指示編碼在cd中的起始位置????

?? cd[n]='\0'； //編碼結(jié)束符?????

for(i=0，i<n，i++)

{ //依次求葉子T[i]的編碼??????

??? H[i].ch=getchar()；//讀入葉子T[i]對(duì)應(yīng)的字符?????????

start=n； //編碼起始位置的初值????????

? c=i； //從葉子T[i]開(kāi)始上溯?????

???? while((p=T[c].parent)>=0)

{//直至上溯到T[c]是樹(shù)根為止??????

????????? //若T[c]是T[p]的左孩子，則生成代碼0；否則生成代碼1????????

???? cd[--start]=(T[p).1child==C)?'0'：'1'；???????????

? c=p； //繼續(xù)上溯????????

??? }????

????? strcpy(H[i].bits，&cd[start])； //復(fù)制編碼位串???????

}//endfor??????

}//CharSetHuffmanEncoding

?

文件的編碼和解碼????

　有了字符集的哈夫曼編碼表之后，對(duì)數(shù)據(jù)文件的編碼過(guò)程是：依次讀人文件中的字符c，在哈夫曼編碼表H中找到此字符，若H[i].ch=c，則將字符c轉(zhuǎn)換為H[i].bits中存放的編碼串。????

　對(duì)壓縮后的數(shù)據(jù)文件進(jìn)行解碼則必須借助于哈夫曼樹(shù)T，其過(guò)程是：依次讀人文件的二進(jìn)制碼，從哈夫曼樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)(即T[m-1])出發(fā)，若當(dāng)前讀人0，則走向左孩子，否則走向右孩子。

一旦到達(dá)某一葉子T[i]時(shí)便譯出相應(yīng)的字符H[i].ch。然后重新從根出發(fā)繼續(xù)譯碼，直至文件結(jié)束。???? 　

文件的編碼和解碼算法【參見(jiàn)練習(xí)】。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/java2016/p/7669833.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最有二叉树 哈夫曼树的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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