【題意】給定n，求Σφ(i)，n<=10^10。

【算法】杜教篩

【題解】

定義$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$

杜教篩$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$

根據$id=\varphi*I$，$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)}{2}$

所以$s(n)=\frac{i(i+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n}s(\frac{n}{i})$

然后遞歸進行即可，預處理前$n^{\frac{2}{3}}$項，則復雜度為O(n^(2/3))。

本質上是對于id=φ*I，其中I和id的前綴和都可以直接計算，所以可以用杜教篩處理φ的前綴和。

#include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int sq=100000,pre=5000000,MOD=1e9+7,inv=(MOD+1)/2; int a[100010],phi[pre+5],prime[pre],tot; ll N; bool vis[pre+5]; int solve(ll n){if(n<=pre)return phi[n];if(~a[N/n])return a[N/n];int ans=n%MOD*((n+1)%MOD)%MOD*inv%MOD;// ll pos=2;for(ll i=pos;i<=n;i=pos+1){pos=n/(n/i);ans=(ans-1ll*(pos-i+1)%MOD*solve(n/i)%MOD+MOD)%MOD;}return a[N/n]=ans; } int main(){scanf("%lld",&N);phi[1]=1;for(int i=2;i<=pre;i++){if(!vis[i]){phi[prime[++tot]=i]=i-1;}for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=pre;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%MOD;}memset(a,-1,sizeof(a));printf("%d",solve(N));return 0; } View Code

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總結

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