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ACM北大暑期课培训第六天

發(fā)布時間：2024/4/17 49 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 ACM北大暑期课培训第六天小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

　　今天講了DFA，最小生成樹以及最短路

　　DFA（接著昨天講）

　　如何高效的構(gòu)造前綴指針：

　　步驟為：根據(jù)深度一一求出每一個節(jié)點(diǎn)的前綴指針。對于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，設(shè)他的父節(jié)點(diǎn)與他的邊上的字符為Ch，如果他的父節(jié)點(diǎn)的前綴指針?biāo)赶虻墓?jié)點(diǎn)的兒子中，有通過Ch字符指向的兒子，那么當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的前綴指針指向該兒子節(jié)點(diǎn)，否則通過當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)的前綴指針?biāo)赶螯c(diǎn)的前綴指針，繼續(xù)向上查找，直到到達(dá)根節(jié)點(diǎn)為止。

　　ps：構(gòu)造前綴指針時在最前面加一個0號節(jié)點(diǎn)。

　　對于一個插入了n個模式串的單詞前綴樹構(gòu)造其前綴指針的時間復(fù)雜度為：O(∑len(i)) (i=1..n)

　　如何在建立好的Trie圖上遍歷：

　　遍歷的方法如下：從ROOT出發(fā)，按照當(dāng)前串的下一個字符ch來進(jìn)行在樹上的移動。若當(dāng)前點(diǎn)P不存在通過ch連接的兒子，那么考慮P的前綴指針指向的節(jié)點(diǎn)Q，如果還無法找到通過ch連接的兒子節(jié)點(diǎn)，再考慮Q的前綴指針… 直到找到通過ch連接的兒子，再繼續(xù)遍歷。如果遍歷過程中經(jīng)過了某個終止節(jié)點(diǎn)，則說明S包含該終止節(jié)點(diǎn)代表的模式串. 如果遍歷過程中經(jīng)過了某個非終止節(jié)點(diǎn)的危險節(jié)點(diǎn)，則可以斷定S包含某個模式串。要找出是哪個，沿著危險節(jié)點(diǎn)的前綴指針鏈走，碰到終止節(jié)點(diǎn)即可。

　　ps:? ?危險節(jié)點(diǎn)：1）終止節(jié)點(diǎn)是危險節(jié)點(diǎn)? ? ? ? 2) 如果一個節(jié)點(diǎn)的前綴指針指向危險節(jié)點(diǎn)，那么它也是危險節(jié)點(diǎn)。

　　　　這樣遍歷一個串S的時間復(fù)雜度是O(len(S))

　　最純粹的Trie圖題目：

給N個模式串，每個不超過個字符，再給M個句子，句子長度< 100 判斷每個句子里是否包含模式串 N < 10, M < 10 ,字符都是小寫字母 5 8 abcde defg cdke ab f abcdkef abkef bcd bca add ab qab f 題目 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <vector> 5 #include <queue> 6 using namespace std; 7 #define LETTERS 26 8 int nNodesCount = 0; 9 struct CNode 10 { 11 CNode * pChilds[LETTERS]; 12 CNode * pPrev; //前綴指針 13 bool bBadNode; //是否是危險節(jié)點(diǎn) 14 void Init() 15 { 16 memset(pChilds,0,sizeof(pChilds)); 17 bBadNode = false; 18 pPrev = NULL; 19 } 20 }; 21 CNode Tree[200]; //10個模式串，每個10個字符，每個字符一個節(jié)點(diǎn)，也只要100個節(jié)點(diǎn) 22 23 void Insert( CNode * pRoot, char * s) 24 { 25 //將模式串s插入trie樹 26 for( int i = 0; s[i]; i ++ ) 27 { 28 if( pRoot->pChilds[s[i]-'a'] == NULL) 29 { 30 pRoot->pChilds[s[i]-'a'] =Tree + nNodesCount; 31 nNodesCount ++; 32 } 33 pRoot = pRoot->pChilds[s[i]-'a']; 34 } 35 pRoot-> bBadNode = true; 36 } 37 void BuildDfa( ) 38 { 39 //在trie樹上加前綴指針 40 for( int i = 0; i < LETTERS ; i ++ ) 41 Tree[0].pChilds[i] = Tree + 1; 42 Tree[0].pPrev = NULL; 43 Tree[1].pPrev = Tree; 44 deque<CNode * > q; 45 q.push_back(Tree+1); 46 while( ! q.empty() ) 47 { 48 CNode * pRoot = q.front(); 49 q.pop_front(); 50 for( int i = 0; i < LETTERS ; i ++ ) 51 { 52 CNode * p = pRoot->pChilds[i]; 53 if( p) 54 { 55 CNode * pPrev = pRoot->pPrev; 56 while( pPrev ) 57 { 58 if( pPrev->pChilds[i] ) 59 { 60 p->pPrev = pPrev->pChilds[i]; 61 if( p->pPrev-> bBadNode) 62 p-> bBadNode = true; 63 //自己的pPrev指向的節(jié)點(diǎn)是危險節(jié)點(diǎn)，則自己也是危險節(jié)點(diǎn) 64 break; 65 } 66 else 67 pPrev = pPrev->pPrev; 68 } 69 q.push_back(p); 70 } 71 } 72 } //對應(yīng)于while( ! q.empty() ) 73 } 74 bool SearchDfa(char * s) 75 { 76 //返回值為true則說明包含模式串 77 CNode * p = Tree + 1; 78 for( int i = 0; s[i] ; i ++ ) 79 { 80 while(true) 81 { 82 if( p->pChilds[s[i]-'a']) 83 { 84 p = p->pChilds[s[i]-'a']; 85 if( p-> bBadNode) 86 return true; 87 break; 88 } 89 else 90 p = p->pPrev; 91 } 92 } 93 return false; 94 } 95 int main() 96 { 97 nNodesCount = 2; 98 int M,N; 99 scanf("%d%d",&N,&M); //N個模式串，M個句子 100 for( int i = 0; i < N; i ++ ) 101 { 102 char s[20]; 103 scanf("%s",s); 104 Insert(Tree + 1,s); 105 } 106 BuildDfa(); 107 for( int i = 0 ; i < M; i ++ ) 108 { 109 char s[200]; 110 scanf("%s",s); 111 cout << SearchDfa(s) << endl; 112 } 113 return 0; 114 } 代碼

PS：有可能模式串A是另一模式串B的子串，此情況下可能只能得出匹配B的結(jié)論而忽略也匹配A，所以不能只看終止節(jié)點(diǎn)，還要看危險節(jié)點(diǎn)：

　　　對每個節(jié)點(diǎn)設(shè)置一個“是否計(jì)算過”的標(biāo)記，當(dāng)標(biāo)記一個危險節(jié)點(diǎn)為“已匹配”時，沿該節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的S的所有后綴指針一直到根節(jié)點(diǎn)全標(biāo)記為“已匹配”。

例題：1.POJ3987?Computer Virus on Planet Pandora?2010 福州賽區(qū)題目

　　　2.POI #7 題：病毒

　　　3.POJ 3691 DNA repair

　　　4.POJ 1625?Censored!

　　　5.POJ2778 DNA Sequence

　　最小生成樹(MST)問題

　　?生成樹：

　　1.無向連通圖的邊的集合

　　2.無回路

　　3.連接所有的點(diǎn)

　　最小：? ? ? ? ?所有邊的權(quán)值之和最小

　　有n個頂點(diǎn)，n-1條邊

　　Prim算法

　　假設(shè)G=(V,E)是一個具有n個頂點(diǎn)的連通網(wǎng)， T=(U,TE)是G的最小生成樹，U,TE初值均為空集。

　　首先從V中任取一個頂點(diǎn)（假定取v1），將它并入U中，此時U={v1}，然后只要U是V的真子集(U∈V)，就從那些一個端點(diǎn)已在T中，另一個端點(diǎn)仍在T外的所有邊中，找一條最短邊，設(shè)為(vi ,vj ),其中 vi∈U,vj∈V-U，并把該邊(vi , vj )和頂點(diǎn)vj分別并入T 的邊集TE和頂點(diǎn)集U，如此進(jìn)行下去，每次往生成樹里并入一個頂點(diǎn)和一條邊，直到n-1次后得到最小生成樹。

　　關(guān)鍵問題：每次如何從連接T中和T外頂點(diǎn)的所有邊中，找到一條最短的

　　　　1) 如果用鄰接矩陣存放圖，而且選取最短邊的時候遍歷所有點(diǎn)進(jìn)行選取，則總時間復(fù)雜度為 O(V2 ), V為頂點(diǎn)個數(shù)

　　　　2)用鄰接表存放圖,并使用堆來選取最短邊，則總時間復(fù)雜度為O(ElogV)

　　　　不加堆優(yōu)化的Prim 算法適用于密集圖，加堆優(yōu)化的適用于稀疏圖

　　Kruskal算法

　　假設(shè)G=(V,E)是一個具有n個頂點(diǎn)的連通網(wǎng)， T=(U,TE)是G的最小生成樹，U=V,TE初值為空。

　　將圖G中的邊按權(quán)值從小到大依次選取，若選取的邊使生成樹不形成回路，則把它并入TE中，若形成回路則將其舍棄，直到TE 中包含N-1條邊為止，此時T為最小生成樹。

　　關(guān)鍵問題：如何判斷欲加入的一條邊是否與生成樹中邊構(gòu)成回路。

　　　　利用并查集！

　　Kruskal 和 Prim 比較

　　Kruskal:將所有邊從小到大加入，在此過程中判斷是否構(gòu)成回路

　　　　– 使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：并查集

　　　　– 時間復(fù)雜度：O(ElogE)

　　　　 – 適用于稀疏圖

　　Prim:從任一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，不斷擴(kuò)展

　　　　– 使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：堆

　　　　– 時間復(fù)雜度：O(ElogV) 或 O(VlogV+E)(斐波那契堆）

　　　　– 適用于密集圖

　　　　– 若不用堆則時間復(fù)雜度為O(V²)

例題：1.POJ 1258?Agri-Net

　　　2.POJ 2349?Arctic Network

　　　3. 2011 ACM/ICPC亞洲區(qū)預(yù)選賽北京賽站

　　　　Problem A. Qin Shi Huang’s National Road System

　　最短路算法

　　Dijkstra 算法? ?解決無負(fù)權(quán)邊的帶權(quán)有向圖或無向圖的單源最短路問題

　　用鄰接表，不優(yōu)化，時間復(fù)雜度O(V2+E)

　　Dijkstra+堆的時間復(fù)雜度 o(ElgV)

　　用斐波那契堆可以做到O(VlogV+E)

　　若要輸出路徑，則設(shè)置prev數(shù)組記錄每個節(jié)點(diǎn)的前趨點(diǎn)，在d[i] 更新時更新prev[i]

　　Dijkstra算法實(shí)現(xiàn)：

　　　　已經(jīng)求出到V0點(diǎn)的最短路的點(diǎn)的集合為T?

　　　　維護(hù)Dist數(shù)組，Dist[i]表示目前Vi到V0的“距離”

　　　　開始Dist[0] = 0, 其他Dist[i] = 無窮大, T為空集

　　　1) 若|T| = N，算法完成，Dist數(shù)組就是解。否則取Dist[i]最小的不在T中的點(diǎn)Vi, 將其加入T，Dist[i]就是Vi到V0的最短路長度。

　　　2) 更新所有與Vi有邊相連且不在T中的點(diǎn)Vj的Dist值：? Dist[j] = min(Dist[j],Dist[i]+W(Vi,Vj))?

　　　3) 轉(zhuǎn)到1）

例題：1.POJ 3159 Candies

　　Bellman-Ford算法

　　解決含負(fù)權(quán)邊的帶權(quán)有向圖的單源最短路徑問題?

　　不能處理帶負(fù)權(quán)邊的無向圖(因可以來回走一條負(fù)權(quán)邊)

　　限制條件：要求圖中不能包含權(quán)值總和為負(fù)值回路(負(fù)權(quán)值回路)，如下圖所示。?

?　　Bellman-Ford算法思想：

　　　　構(gòu)造一個最短路徑長度數(shù)組序列dist¹ [u], dist ² [u], …, dist ^n-1 [u] （u = 0,1…n-1,n為點(diǎn)數(shù))

　　　　dist^n-1 [u]為從源點(diǎn)v出發(fā)最多經(jīng)過不構(gòu)成負(fù)權(quán)值回路的n-1條邊到達(dá)終點(diǎn)u的最短路徑長度；

?　　　　算法的最終目的是計(jì)算出dist ^n-1 [u]，為源點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的最短路徑長度。

?　　　　遞推公式(求頂點(diǎn)u到源點(diǎn)v的最短路徑)：

　　　　　　dist ¹ [u] = Edge[v][u]

　　　　　　dist ^k [u] = min{ dist^k-1 [u], min{ dist ^k-1 [j] + Edge[j][u] } }, j=0,1,…,n-1,j≠u

　　若存在dist?ⁿ?[u]? < dist ^n-1?[u]，則說明存在從源點(diǎn)可達(dá)的負(fù)權(quán)值回路

　　　在求出distn-1[ ]之后，再對每條邊<u,k>判斷一下：加入這條邊是否會使得頂點(diǎn)k的最短路徑值再縮短，即判斷：dist[u]+w(u,k)<dist[k]否成立，如果成立，則說明存在從源點(diǎn)可達(dá)的負(fù)權(quán)值回路。

　　存在負(fù)權(quán)回路就一定能導(dǎo)致該式成立的證明:

　　如果成立，則說明找到了一條經(jīng)過了n條邊的從 s 到k的路徑，且其比任何少于n條邊的從s到k的路徑都短。

　　一共n個頂點(diǎn)，路徑卻經(jīng)過了n條邊，則必有一個頂點(diǎn)m經(jīng)過了至少兩次。則m是一個回路的起點(diǎn)和終點(diǎn)。走這個回路比不走這個回路路徑更短，只能說明這個回路是負(fù)權(quán)回路。

　　Bellman-Ford算法改進(jìn):

　　Bellman-Ford算法不一定要循環(huán)n-1次，n為頂點(diǎn)個數(shù),只要在某次循環(huán)過程中，考慮每條邊后，源點(diǎn)到所有頂點(diǎn)的最短路徑長度都沒有變，那么Bellman-Ford算法就可以提前結(jié)束了

　　Dijkstra算法與Bellman-Ford算法的區(qū)別?

　　Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的區(qū)別：

　　　　Dijkstra算法在求解過程中，源點(diǎn)到集合S內(nèi)各頂點(diǎn)的最短路徑一旦求出，則之后不變了，修改的僅僅是源點(diǎn)到S外各頂點(diǎn)的最短路徑長度。

　　　　Bellman-Ford算法在求解過程中，每次循環(huán)都要修改所有頂點(diǎn)的dist[ ]，也就是說源點(diǎn)到各頂點(diǎn)最短路徑長度一直要到算法結(jié)束才確定下來。

例題：1.POJ 3259 Wormholes

要求判斷任意兩點(diǎn)都能僅通過正邊就互相可達(dá)的有向圖(圖中有重邊）中是否存在負(fù)權(quán)環(huán) Sample Input 2 3 3 1 1 2 2 1 3 4 2 3 1 3 1 3 3 2 1 1 2 3 2 3 4 3 1 8Sample Output NO YES2個test case 每個test case 第一行： N M W (N<=500,M<=2500,W<=200) N個點(diǎn) M條雙向正權(quán)邊 W條單向負(fù)權(quán)邊第一個test case 最后一行 3 1 3 是單向負(fù)權(quán)邊，3->1的邊權(quán)值是-3 題目 1 //by guo wei 2 #include <iostream> 3 #include <vector> 4 using namespace std; 5 int F,N,M,W; 6 const int INF = 1 << 30; 7 struct Edge 8 { 9 int s,e,w; 10 Edge(int ss,int ee,int ww):s(ss),e(ee),w(ww) { } 11 Edge() { } 12 }; 13 vector<Edge> edges; //所有的邊 14 int dist[1000]; 15 int Bellman_ford(int v) 16 { 17 for( int i = 1; i <= N; ++i) 18 dist[i] = INF; 19 dist[v] = 0; 20 for( int k = 1; k < N; ++k) //經(jīng)過不超過k條邊 21 { 22 for( int i = 0; i < edges.size(); ++i) 23 { 24 int s = edges[i].s; 25 int e = edges[i].e; 26 if( dist[s] + edges[i].w < dist[e]) 27 dist[e] = dist[s] + edges[i].w; 28 } 29 } 30 for( int i = 0; i < edges.size(); ++ i) 31 { 32 int s = edges[i].s; 33 int e = edges[i].e; 34 if( dist[s] + edges[i].w < dist[e]) 35 return true; 36 } 37 return false; 38 } 39 int main() 40 { 41 cin >> F; 42 while( F--) 43 { 44 edges.clear(); 45 cin >> N >> M >> W; 46 for( int i = 0; i < M; ++ i) 47 { 48 int s,e,t; 49 cin >> s >> e >> t; 50 edges.push_back(Edge(s,e,t)); //雙向邊等于兩條邊 51 edges.push_back(Edge(e,s,t)); 52 } 53 for( int i = 0; i < W; ++i) 54 { 55 int s,e,t; 56 cin >> s >> e >> t; 57 edges.push_back(Edge(s,e,-t)); 58 } 59 if( Bellman_ford(1))//從1可達(dá)所有點(diǎn) 60 cout << "YES" <<endl; 61 else cout << "NO" <<endl; 62 } 63 } View Code for( int k = 1; k < N; ++k) { //經(jīng)過不超過k條邊for( int i = 0;i < edges.size(); ++i) {int s = edges[i].s;int e = edges[i].e;if( dist[s] + edges[i].w < dist[e])dist[e] = dist[s] + edges[i].w; } }會導(dǎo)致在一次內(nèi)層循環(huán)中，更新了某個 dist[x]后，以后又用dist[x]去更新dist[y],這樣dist[y]就是經(jīng)過最多不超過k+1條邊的情況了出現(xiàn)這種情況沒有關(guān)系，因?yàn)檎麄€ for( int k = 1; k < N; ++k) 循環(huán)的目的是要確保,對任意點(diǎn)u,如果從源s到u的最短路是經(jīng)過不超過n-1條邊的,則這條最短路不會被忽略。至于計(jì)算過程中對某些點(diǎn) v 計(jì)算出了從s->v的經(jīng)過超過N-1條邊的最短路的情況，也不影響結(jié)果正確性。若是從s->v的經(jīng)過超過N-1條邊的結(jié)果比經(jīng)過最多N-1條邊的結(jié)果更小，那一定就有負(fù)權(quán)回路。有負(fù)權(quán)回路的情況下，再多做任意多次循環(huán)，每次都會發(fā)現(xiàn)到有些點(diǎn)的最短路變得更短了。問題

　　　2.POJ 1860

　　　3.POJ 3259

　　　4.POJ 2240

?　　SPFA算法

?　　快速求解含負(fù)權(quán)邊的帶權(quán)有向圖的單源最短路徑問題

　　是Bellman-Ford算法的改進(jìn)版，利用隊(duì)列動態(tài)更新dist[]

　　維護(hù)一個隊(duì)列，里面存放所有需要進(jìn)行迭代的點(diǎn)。初始時隊(duì)列中只有一個源點(diǎn)S。用一個布爾數(shù)組記錄每個點(diǎn)是否處在隊(duì)列中。

　　每次迭代，取出隊(duì)頭的點(diǎn)v，依次枚舉從v出發(fā)的邊v->u，若 Dist[v]+len(v->u) 小于Dist[u]，則改進(jìn)Dist[u]（可同時將u前驅(qū)記為v）。此時由于S到u的最短距離變小了，有可能u可以改進(jìn)其它的點(diǎn)，所以若u不在隊(duì)列中，就將它放入隊(duì)尾。這樣一直迭代下去直到隊(duì)列變空，也就是S到所有節(jié)點(diǎn)的最短距離都確定下來，結(jié)束算法。若一個點(diǎn)最短路被改進(jìn)的次數(shù)達(dá)到n ，則有負(fù)權(quán)環(huán)(原因同B-F算法。可以用spfa算法判斷圖有無負(fù)權(quán)環(huán)

　　在平均情況下，SPFA算法的期望時間復(fù)雜度為O(E)。

?例題：1.POJ 3259 Wormholes

　　　 2.POJ 2387

　　　 3.POJ 3256

　　弗洛伊德算法

　　用于求每一對頂點(diǎn)之間的最短路徑。有向圖，無向圖均可，也可以有負(fù)權(quán)邊。但不適合于有負(fù)權(quán)回路的題。

　　復(fù)雜度O(n³)

///弗洛伊德算法偽代碼（三層循環(huán)） for( int i = 1 ; i <= vtxnum; ++i )for( int j = 1; j <= vtxnum; ++j){dist[i][j] = cost[i][j]; // cost是邊權(quán)值, dist是兩點(diǎn)間最短距離if( dist[i][j] < INFINITE) //i到j(luò)有邊path[i,j] = [i]+[j]; //path是路徑 } for( k = 1; k <= vtxnum; ++k) //每次求中間點(diǎn)標(biāo)號不超過k的i到j(luò)最短路for( int i = 1; i <= vtxnum; ++i)for(int j = 1; j <= vtxnum ; ++j)if( dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]){dist[i][j] = dist[i][k]+dist[k][j];path[i,j] = path[i,k]+path[k,j];}

例題：1.POJ 3660 Cow Contest

　　　2.POJ 1125

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/l999q/p/9393372.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ACM北大暑期课培训第六天的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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