前言

一、計數策略

• 注意三個維度；

• 利用類比思維；

• 注意剔除重復情形；

二、典例剖析

例1已知正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的六個面的中心分別為\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)，\(I\)，\(J\)，甲從這6個點任選2個點連成直線\(l_1\)，乙也從這6個點任選2個點連成與直線\(l_1\)垂直的直線\(l_2\)，則\(l_1\)與\(l_2\)異面的直線的概率是___________。

分析：先做出正方體，以及六個面的中心，如下圖所示，

然后將這六個中心兩兩相連，得到線段為\(C_6^2=15\)條，如下圖所示，外觀是個正八面體。

接下來，我們先考慮\(l_1\perp l_2\)的所有情形，為便于計數，我們對線段依次編號①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?????；

\(1^{\circ}\)，繞\(z\)軸方向，即上下方向的維度上，相互垂直的直線有：

和?垂直的直線有：⑨，⑩，?，?，?，?，共有6對；

以及在\(yoz\)平面中，相互垂直的直線有①③；③⑤；⑤⑦；①⑦，共有4對；

\(2^{\circ}\)，繞\(x\)軸方向，即前后方向的維度上，相互垂直的直線有：

和?垂直的直線有：①，③，⑤，⑦，?，共有5對；

以及在\(xoz\)平面中，相互垂直的直線有②④；④⑧；⑥⑧；②⑥；共有4對；

\(3^{\circ}\)，繞\(y\)軸方向，即左右方向的維度上，相互垂直的直線有：

和?垂直的直線有：②，④，⑥，⑧，共有4對；

以及在\(xoy\)平面中，相互垂直的直線有⑨⑩；⑩?；??；⑨?；共有4對；

故所有情形有\(6+5+4+3\times 4=27\)，其中屬于異面垂直的直線有：每個維度上有4對，三個維度，共有12對，

故所求概率為\(P=\cfrac{12}{27}=\cfrac{4}{9}\)。

例2如果把四個面都是直角三角形的四面體稱為“三節棍體”，那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點是“三節棍體”的四個頂點的概率是__________。

分析：我們容易判斷該問題是古典概型，分母是\(C_8^4\)，難點是分子的確定。如圖所示，我們選其中一個頂點，比如選\(A\)，

則過點\(A\)有三個維度，上下，左右，前后，先選定一個維度，比如上下，由于點\(A\)在上底面，故我們在下底面中尋找，自然先找到點\(A'\)，再找到點\(B'\)，最后找到點\(C'\)，這樣一個“三節棍體”的四面體就得到了，我們先判斷一下為什么四面體\(A-A_1B_1C_1\)稱為“三節棍體”的四面體，然后回頭思考其中的三節棍是哪些線段？\(AA_1\)，\(A_1B_1\)，\(B_1C_1\)，這三條線段的特點為兩兩垂直。

當選了點\(A\)后，在下底面就不會選\(B_1\)、\(C_1\)、\(D_1\)三個點，而會接著選\(A1\)、\(D_1\)、\(C_1\)三個點，得到“三節棍體”的四面體\(A-A_1D_1C_1\)，于是在一個維度上有2個符合題意的“三節棍體”，那么在三個維度上共有\(3\times2=6\)個“三節棍體”；同理，類似點\(A\)的頂點共有8個，故共有“三節棍體”的個數為\(6\times 8=48\)個；

接下來考慮是否有重復的情形，其實上述的情形剛好重復了一倍，比如當頂點為\(C_1\)時，得到的“三節棍體”\(C_1-A_1D_1A\)和\(A-A_1D_1C_1\)是相同的，這樣應該有\(\cfrac{1}{2}\times 48=24\)，

故所求概率為\(P=\cfrac{24}{C_8^4}=\cfrac{12}{35}\)。

轉載于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10528537.html

總結

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