V.I. Arnold 論數學教育?
地點： Palais de Découverte in Paris
時間 1997年3月7日.

數學是物理的一部分。物理學是一門實驗科學，它是自然科學的一部分。而數學是
物理學中只需要花費較少的代價進行實驗的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保證三角
形三條高交于一點）就是一個實驗事實，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事
實一樣。但是發現前者卻要比發現后者需要較少的代價。

在20世紀中葉，人們試圖嚴格地區分物理與數學。其造成地后果是災難性的。整整一
代的數學家在對他們所從事的科學的另一半及其無知的情況下成長，當然，對其他的科
學就更無知了。這些人又開始把他們的丑陋的學院式的偽數學教給他們的學生，接著這
些丑陋的偽數學又被交給中小學校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數
學在陽光下不可能總有藏身之處）。

既然那些從物理學中人為挖出來的學院式的數學既無益于教學，又對其他的科學毫無用
處，結果可以想見，全世界的人都討厭數學家（甚至包括那些被他們教出來的可憐的學校
里的孩子們以及那些運用這些丑陋數學的人）。這些先天不足的數學家被他們所患的低能
癥候群折騰的筋疲力盡，他們無能對物理學有個起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建
造的一個丑陋建筑物就是“奇數的嚴格公理化理論”。

很顯然，完全可能創造這樣一種理論，使得幼稚的小學生們敬畏它的完美及其內部構造
的和諧（例如，這種理論定義了奇數個項的和以及任意個因子的乘積）。從這種偏執狹隘
的觀點來看，偶數或者被認為是一類“異端”，或者隨著時間流逝，被用來作為該理論中
幾個“理想”對象的補充（為了遵從物理與真實世界的需要）。很不幸的是，這種理論只
是數學中一個丑陋而變態的構造，但卻統治了我們的數學教育數十年。它首先源自于法國
，這股歪風很快傳播到對數學基礎的教學里，先是毒害大學生，接著中小學生也難免此災
（而災區最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。

如果你問一個法國的小學生：“2＋3等于幾？”，他（她）會這樣回答：“等于
3＋2，因為加法運算是可交換的”。他（她）根本不知道這個和等于幾，甚至根本不
能理解你在問他（她）什么！

還有的法國小學生會這樣定義數學（至少我認為很有可能）：“存在一個正方形
，但還沒有被證明”。

據我在法國教學的經驗，大學里的學生對數學的認識與這些小學生也差不多（甚
至包括那些在'高等師范學校'（ENS）里學習數學的學生－－我為這些顯然很聰明但卻
被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。

例如，這些學生從未見過一個拋物面，而且一個這樣的問題：描述由方程xy=z^2所
給出的曲面的形狀，就能使那些在ENS中研究的數學家們發呆半天；而如下問題：畫出
平面上由參數方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）給出的曲線，對學生來說是
不可能完成的（甚至對大多數法國的數學教授也一樣）。從微積分的入門教科書直到
Goursat寫的課本，解這些問題的能力都被認為是每個數學家應具備的基本技能。

那些喜歡挑戰大腦的所謂“抽象數學”的狂熱者們，把所有在數學中能與物理和現實
經常發生聯系的幾何統統排除在教學之外。由Goursat, Hermite, Picard等人寫的微積分
教程被認為是有害的，最近差點被巴黎第6和第7大學的圖書館當垃圾丟掉，只是在我的干
預下才得以保存。

ENS的聽完所有微分幾何與代數幾何課程的學生（分別被不同的數學家教的），卻既不
熟悉由橢圓曲線 y^2 = x^3 + ax + b 決定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓撲分類（更別
提第一類橢圓積分和橢圓曲線的群性質了，即 Euler-Abel 加法定理）。他們僅僅學到了
Hodge 構造以及 Jacobi 簇！

這樣的現象竟然會在法國出現！這個國家可是為整個世界貢獻了諸如 Lagrange ，
Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 還有 Thom 這些頂級的偉大人物啊！對我而言，一個合理的解釋來自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教導過我:
真正的數學家決不會拉幫結派，只有弱者為了生存才會加入幫派。他們可以聯結很多的
方面（可能會是超級的抽象，反猶太主義或者“應用的和工業上的”問題），但其本質
總是為了解決社會生存問題。

我在此向大家順便提一下 L. Pasteur 的忠告：從來沒有也決不會有任何所謂的“
應用科學”，而僅僅有的是科學的應用（十分有用的東東啊！）

長久以來我一直對 Petrovskii 的話心存疑慮，但是現今我越來越肯定他說的一點
沒錯。那些超級抽象活動的相當大的部分正在墮落到以工業化的模式無恥的掠奪那些發
現者的成果，然后再加以系統地組織設計使自己成為萬能的推廣者。就彷佛美麗堅所在
的新大陸不以哥倫布命名一樣，數學結果也幾乎從未以它們真正的發現者來命名。

為避免被認為我在胡說八道，我不得不在此聲明我自己的一些成果由于莫名其妙的原
因就被以上述方式無償征用，其實這樣的事情經常在我的老師（Kolmogorov, Petrovskii
, Pontryagin, Rokhlin）和學生身上發生。

M. Berry 教授曾經提出過如下兩個原理：

Arnold 原理：如果某個理念中出現了某個人名，則這個人名必非發現此理念者的名
字。
Berry 原理：Arnold 原理適用于自身。

不過，我們還是說回法國的數學教育上來。當我還是莫斯科大學數力系的一年級新生
時，集合論的拓撲學家 L.A. Tumarkin 教我們微積分，他在課堂上很謹慎地一遍又一遍
地講述古老而經典的Goursat 版的法語微積分教程。他告訴我們有理函數沿著一條代數曲
線的積分可以求出來如果該代數曲線對應的黎曼面時一個球面。而一般來說，如果該曲面
的虧格更高這樣的積分將不可求，不過對球面而言，只要在一個給定度數的曲線上有充分
多的double points 就足夠了（即要求該曲線是unicursal ：即可以將其實點在射影平面上
一筆畫出來）。

這些事實給我們造成多么深刻的印象啊（即使沒有給出證明），它們給了我們非常優
美而正確的現代數學的思想，比那些長篇累牘的Bourbaki學派的論著不知道好到哪里去了
。說真的，我們在這里看到了那些表面上完全不同的事物之間存在著令人驚奇的聯系：一
方面，對于相應的黎曼面上的積分與拓撲存在著顯式的表達式，而另一方面，在 double p
oints 的個數與相應的黎曼面的虧格之間也有重要的聯系。

這樣的例子并不鮮見，作為數學中最迷人的性質之一，Jacobi曾指出：用同一個函數
就既可以理解能表示為4個數平方和的整數的性質，又可以描述一個單擺的運動。

這些不同種類的數學對象之間聯系的發現，就好比在物理學中電與磁之間聯系的發
現，也類同于地質學上對美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間相似性的發現。

這些發現對于教學所具有的令人激動的非凡意義是無法估量的。正是它們指引著我
們去研究和發現宇宙中和諧而精彩的現象。

然而，數學教育的非幾何化以及與物理學的分離卻割斷了這種聯系。例如，不僅僅
學習數學的學生而且絕大部分的代數幾何學家都對以下提及的Jacobi 事實一無所知：一
個第一類型的橢圓積分表示了相應的哈密頓系統中沿某個橢圓相曲線的運動所走的時間。

我們知道一個 hypocycloid 就如同多項式環中的理想一樣是無窮無盡的。但是如果
要把理想這個概念教給一個從未見過任何 hypocycloid 的學生，就好比把分數的加法教
給一個從來沒有把蛋糕或蘋果等分切割過（至少在腦子里切過）的學生。毫無疑問孩子
們將會傾向于同時分子加分子分母加分母。

從我的法國朋友那里我聽說這種超級抽象的一般化正是他們國家的傳統特色。如果
說這可能是一個世襲的缺陷，我倒不會不贊成，不過我還是愿意強調那個從Poincaré
那兒借來的“蛋糕與蘋果”的事實。

構造數學理論的方式與其它的自然科學并沒有什么不同。首先，我們要考慮一些對象
并對一些特殊的事例進行觀察。接著我們試圖要找到一些我們所觀察到的結果在應用上的
限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結果擴展到更廣泛領域的反例。作為
一個結果我們盡可能地明確提出那由經驗得來的發現（如費馬猜想和龐加萊猜想）。這之
后將是檢驗我們的結論到底有多可靠的困難的階段。

就這一點來說，數學界已經發展出了一套特別的技術。這種技術，當被運用于現實世
界時，有時候很有用，但有時候也會導致自欺欺人。這樣的技術被稱為“建?！?。當構造
一個模型時，要進行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實，往
往被認為是“絕對”正確的并被當作“公理”來接受。這種“絕對性”的意義恰恰是，在
把所有我們可以借助這些事實得出的結論稱為定理的過程中，我們允許自己依據形式邏輯
的規則來運用這些“事實”。

顯然在任何現實的日常生活中，我們的活動要完全依賴于這樣的化減是不可能的。
原因至少在于所研究的現象的參數決不可能被絕對準確的知曉，并且參數的微小變化（
例如一個過程初始條件的微小改變）就會完全地改變結果。由于這個原因我們可以說任
何長期的天氣預報都是不可能的，無論我們把計算機造的有多高級或是記錄初始條件地
儀器有多靈敏，這永遠也辦不到。

與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個小小的改變雖是容許
的，一般來說，由那些被接受的公理推出的定理卻將導出完全不同的結論。推導的鏈（
即所謂的“證明”）越長越復雜，最后得到的結論可靠性越低。復雜的模型幾乎毫無用
處（除了對那些無聊的專寫論文的人）。

數學建模的技術對這種麻煩一無所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它
們真的就與現實世界吻合。事實上，從自然科學的觀點看, 這種途徑是顯然不正確的，
但卻經常導致很多物理上有用的被稱為“有不可思議的有效性的數學”結果（或叫做
“Wigner原理”）。

我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類現象與以上Wigner所指的物理中
的數學具有相仿的不可思議的有效性，即生物學中用到的數學也是同樣令人難以置信的有
效。

對一個物理學家而言，“數學教育所致的不易察覺的毒害作用”（F.Klein 原話）恰
恰體現在由現實世界抽離出的被絕對化了的模型，并且它與現實已不再相符。這兒是一個
簡單的例子：數學知識告訴我們 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初始條件唯一決定的
（也即相應的位于（t-x）－平面上積分曲線彼此不交）。這個數學模型的結論顯得與現實
世界毫不相關。而計算機模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負半軸上有公共點。事實上，
具有初始條件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲線在t=-100 相交，其實在t=-100 時，你壓根就
不可能在兩條曲線之間再插入一個原子。歐式幾何對這種空間在微小距離下的性質沒有任
何的描述。在這種情況下來應用唯一性定理顯然已經超出了模型所能容許的精確程度。在
對模型的實際運用中，這種情形必須要加以注意，否則可能會導致嚴重的麻煩。

我還想說的是，相同的唯一性定理也可解釋為何在船只停泊碼頭前的靠岸階段必須得
依靠人工操作：否則的話，如果行進的速度是距離的光滑（線性）函數，則整個靠岸的過
程將會耗費無窮長的時間。而另外可行的方法則是與碼頭相撞（當然船與碼頭之間要有非
理想彈性物體以造成緩沖）。順便說一下，我們必須非常重視這類問題，例如，登陸月球
和火星以及空間站的對接－此時唯一性問題都會讓我們頭痛。

不幸的是，在現代數學的教科書里，即使是較好的一類課本里，對這種令人崇拜的定
理所隱藏的危險的事例或探討都只字沒有。我甚至已經形成了這樣的印象，那些學院派的
數學家（對物理知識都一竅不通）都對公理化形式的數學與建模的主要差異習以為常，而
且他們覺得在自然科學中這是很普遍的，只是需要用后期的實驗來控制理論推演。

我想用不著去提什么初始公理的相對特征，人們也都不會忘記在冗長的論述里犯邏輯
錯誤是在所難免的（彷佛宇宙射線或量子振動所引發的計算崩潰）。每一個還在工作的數
學家都知道，如果不對自己有所控制（最好是用事例），那么在10頁論述之后所有公式中
的記號有半數都會出問題。

與這樣的謬誤相抗的技術也同樣存在于任何實驗科學里，而且應該教給每一個大學低年
級的學生。

試圖創造所謂的純粹推導式的公理化數學的做法，使得我們不再運用物理學中的研究
方法（觀察-建模－模型的研究－得出結論－用更多的觀察檢驗模型）取而代之的是這樣的
方法：定義－定理－證明。人們根本不可能理解一個毫無動機的定義，但我們卻無法阻止
這些有罪的“代數－公理學家”。例如，他們總是想用長乘規則的手段來定義自然數的乘
積。但用這種方法乘法的交換性卻難以證明，不過從一堆的公理中仍有可能推導出這樣的
定理。而且完全可能逼著那些可憐的學生們來學習這個定理以及它的證明（其目的不外乎
是提升這門學科以及教授它的人的社會地位）。顯然，這種定義和這樣的證明對教學和實
際工作有百害而無一益。

理解乘法交換性的唯一可能的方式，打個比方就是分別按行序和列序來數一個方陣里
士兵的人數，或者說用兩種方式來計算長方形的面積。任何試圖只做不與物理和現實世界
打交道的數學都屬于宗派主義和孤立主義，這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數學創造
視為一項有用的人類活動的美好印象。

我將再揭示幾個這樣的秘密（可憐的學生們對此很有興趣）。

一個矩陣的行列式就是一個平行多面體的（定向的）體積，這個多面體的每條邊就對
應矩陣的列。如果學生們得知了這個秘密（在純粹的代數式的教育中，這個秘密被仔細地
隱藏了起來），那么行列式的整個理論都將成為多線性形式理論的一部分。如果用別的方
式來定義行列式，則任何敏感的人都將會永遠恨死了諸如行列式，Jacobi式，以及隱函數
定理這些鬼東西。

一個群又是什么東東呢？代數學家們會這樣來教學：這是一個假設的集合，具有兩種
運算，它們滿足一組容易讓人忘記的公理。這個定義很容易激起一個自然的抗議：任何一
個敏感的人為何會需要這一對運算？“哦，這種數學去死吧”－－這就是學生的反應（他
很可能將來就成為了科學強人）。

如果我們的出發點不是群而是變換的概念（一個集合到自身的1－1映射），則我們絕
對將得到不同的局面，這也才更像歷史的發展。所有變換的集合被稱為一個群，其中任何
兩個變換的復合仍在此集合內并且每個變換的逆變換也如此。

這就是定義的關鍵所在。那所謂的“公理”事實上不過是變換群所具有的顯然的性質
。公理化的倡導者所稱的“抽象群”不過是在允許相差同構（保持運算的1－1映射）意義
下的不同集合的變換群。正如 Cayley證明的，在這個世界上根本就沒有“更抽象的”群。
那么為什么那些代數學家仍要用抽象的定義來折磨這些飽受痛苦的學生們呢？

順便提一句，在上世紀60年代我曾給莫斯科的中小學生們講授群論。我回避了任何的
公理，盡可能的讓內容貼近物理，在半年內我就教給了他們關于一般的五次方程不可解性
的Abel 定理（以同樣的方式，我還教給了小學生們復數，黎曼曲面，基本群以及代數函數
的monodromy 群）。這門課程的內容后來由我的一個聽眾 V. Alekseev 組織出版了，名為
The Abel theorem in problems.

一個光滑流形又是什么東東呢？最近我從一本美國人的書中得知龐加萊對此概念并
不精通（盡管是由他引入的），而所謂“現代的”定義直到上世紀20年代才由Veblen給
出：一個流形是一個拓撲空間滿足一長串的公理。

學生們到底犯了什么罪過必須經受這些扭曲和變形的公理的折磨來理解這個概念？
事實上，在龐加萊的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一個光滑流形的絕對
清晰的定義，它要比這種抽象的玩意兒有用的多。

一個歐式空間R^N 中的k-維光滑子流形是一個這樣的子集，其每一點的一個鄰域是
一個從R^k到R^(N-k)的光滑映射的圖象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐標子空間 ）。這
樣的定義是對平面上大多數通常的光滑曲線（如 圓環 x^2 + y^2 = 1）或三維空間中
曲線和曲面的直接的推廣。

光滑流形之間的光滑映射則是自然定義的。所謂微分同胚則是光滑的映射且其逆也
光滑。

而所謂“抽象的”光滑流形就是歐式空間的允許相差一個微分同胚意義下的光滑子
流形。世界上根本不存在所謂“更抽象的”有限維的光滑流形（Whitney 定理）。為什
么我們總是要用抽象的定義來折磨學生們呢？把閉二維流形（曲面）的分類定理證給學
生們看不是更好嗎？恰恰是這樣的精彩定理（即任何緊的連通的可定向的曲面都是一個
球面外加若干個環柄似的把手）使我們對現代數學是什么有了一個正確的印象，相反的
是，那些對歐式空間的簡單的子流形所做的超級抽象的推廣，事實上壓根沒有給出任何
新的東東，不過是用來展示一下那些公理化學者們成就的蹩腳貨。

對曲面的分類定理是頂級的數學成就，堪與美洲大陸或X 射線的發現媲美。這是數
學科學里一個真正的發現，我們甚至難以說清到底所發現的這個事實本身對物理學和數
學哪一個的貢獻更大。它對應用以及對發展正確的世界觀的非凡意義目前已超越了數學
中的其他的“成就”，諸如對費馬大定理的證明，以及對任何充分大的整數都能表示成
三個素數和這類事實的證明。為了出風頭，當代的數學家有時候總要展示一些“運動會
式的”成就，并聲稱那就是他們的學科里最后的難題。可想而知，這樣的做法不僅無助
于社會對數學的欣賞，而且恰恰相反，會使人們產生懷疑：對于這樣的毫無用處的跳脫
衣舞般的問題，有必要耗費能量來做這些（彷佛攀巖似的）練習嗎？

曲面的分類定理應該被包含在高中數學的課程里（可以不用證明），但不知為什么
就連大學數學的課程里也找不到（順便一下，在法國近幾十年來說有的幾何課程都被禁
止）。

在各個層次上，數學教育由學院的特征轉回到表述自然科學的重要性的特征，對法國
而言是一個及其熱點的問題。使我感到很震驚的是那些最好的也是最重要的條理清晰的
數學書，在這兒幾乎都不為學生們所知（而依我看它們還沒有被譯成法語）。這些書中
有Rademacher 和 T?寫的 《Numbers and figures》；Hilbert 和 Cohn-Vossen
寫的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant 和Robbins 寫的《What is
mathematics?》；Polya 寫的《How to solve it》 和 《Mathematics and plausible
reasoning 》； F. Klein 寫的《Development of mathematics in the 19th century
》。

我清晰地記得在學校時，Hermite 寫的微積分教程（有俄語譯本）給我留下了多么
強烈的印象。我記得在其最開始的一篇講義中就出現了黎曼曲面（當然所有分析的內容
都是針對復變量的，也本該如此）。而積分漸進的內容是通過黎曼曲面上道路形變的方
法來研究（如今，我們稱此方法為Picard-Lefschetz 理論;順便提一下，Picard是Herm
ite的女婿－－數學能力往往是由女婿來傳承：Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U
. Frisch 這個王朝就是巴黎科學院中另一個這樣的范例）。

由Hermite 一百多年前所寫的所謂的“過時的”教程（也許早就被法國大學的學生
圖書館當垃圾扔掉了）實際上要比那些如今折磨學生們的最令人厭煩的微積分課本現代
化的多。

如果數學家們再不睡醒，那么那些對現代的（最正面意義上的）數學理論仍有需要
，同時又對那些毫無用處的公理化特征具有免疫力（這是任何敏銳的人所具有的特征）
的消費者們會毫不猶豫的將這些學校里的受教育不足的學究們掃地出門。

一個數學教師，如果至今還沒有掌握至少幾卷Landau 和 Lifshitz 著的物理學教
程，他（她）必將成為一個數學界的希罕的殘存者，就好似如今一個仍不知道開集與閉
集差別的人。

（The end）