1. (Maybee) 設 $A$ 是一個樹符號模式. 證明:

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(1). 若 $A$ 的每個簡單 $2$-圈都是正的, 則對于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的實對角矩陣 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 為對稱矩陣.

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(2). 若 $A$ 的每個對焦元素為 $0$ 且 $A$ 的每個 $2$-圈都是負的, 則對于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的實對角矩陣 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 為反對稱矩陣.

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證明: 樹符號模式只有 $2n-2$ 個非零的非對角元, 并且它們對稱分布. 設 $A$ 的上三角部分中除去對角元的 $n-1$ 個不為零的元素為 $a_{i_1j_1},\cdots,a_{i_{n-1}j_{n-1}}$.

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(1). 設 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n)$, 則 $$\bex \frac{1}{d_{i_l}}a_{i_lj_l}d_{j_l}= \frac{1}{d_{j_l}}a_{j_li_l}d_{i_l},\quad i=1,\cdots,n-1. \eex$$

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(2). 設 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n)$, 則 $$\bex \frac{1}{d_{i_l}}a_{i_lj_l}d_{j_l}= -\frac{1}{d_{j_l}}a_{j_li_l}d_{i_l},\quad i=1,\cdots,n-1. \eex$$

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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