并沒有完全看懂，先收藏。在沒有約束條件的情況下，求函數(shù)的最優(yōu)解。

梯度的方向與等值面垂直，并且指向函數(shù)值提升的方向。

二次收斂是指一個算法用于具有正定二次型函數(shù)時，在有限步可達(dá)到它的極小點(diǎn)。二次收斂與二階收斂沒有盡然聯(lián)系，更不是一回事，二次收斂往往具有超線性以上的收斂性。一階收斂不一定是線性收斂。

解釋一下什么叫正定二次型函數(shù)：

n階實(shí)對稱矩陣Q，對于任意的非0向量X，如果有X^TQX>0，則稱Q是正定矩陣。

對稱矩陣Q為正定的充要條件是：Q的特征值全為正。

二次函數(shù)，若Q是正定的，則稱f(X)為正定二次函數(shù)。

黃金分割法

黃金分割法適用于任何單峰函數(shù)求極小值問題。

求函數(shù)在[a,b]上的極小點(diǎn)，我們在[a,b]內(nèi)取兩點(diǎn)c,d，使得a<c<d<b。并且有

1）如果f(c)<f(d)，則最小點(diǎn)出現(xiàn)在[a,d]上，因此[a,d]成為下一次的搜索區(qū)間。

2）如果f(c)>f(d)，則[c,b]成為下一次的搜索區(qū)間。

假如確定了[a,d]是新的搜索區(qū)間，我們并不希望在[a,d]上重新找兩個新的點(diǎn)使之滿足(1)式，而是利用已經(jīng)抗找到有c點(diǎn)，再找一個e點(diǎn)，使?jié)M足：

可以解得r=0.382，而黃金分割點(diǎn)是0.618。

練習(xí)：求函數(shù)f(x)=x*x-10*x+36在[1,10]上的極小值。

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最速下降法

泰勒級數(shù)告訴我們：

其中Δx可正可負(fù)，但必須充分接近于0。

X沿D方向移動步長a后，變?yōu)閄+aD。由泰勒展開式：

目標(biāo)函數(shù)：

a確定的情況下即最小化：

向量的內(nèi)積何時最小？當(dāng)然是兩向量方向相反時。所以X移動的方向應(yīng)該和梯度的方向相反。

接下來的問題是步長a應(yīng)該怎么定才能使迭代的次數(shù)最少？

若f(X)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，由泰勒展開式可得：

H是f(X)的Hesse矩陣。?

可得最優(yōu)步長：

g是f(X)的梯度矩陣。

此時：

可見最速下降法中最優(yōu)步長不僅與梯度有關(guān)，而且與Hesse矩陣有關(guān)。

練習(xí)：求函數(shù)f(x1,x2)=x1*x1+4*x2*x2在極小點(diǎn)，以初始點(diǎn)X0=(1,1)T。

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梯度下降法開始的幾步搜索，目標(biāo)函數(shù)下降較快，但接近極值點(diǎn)時，收斂速度就比較慢了，特別是當(dāng)橢圓比較扁平時，收斂速度就更慢了。

另外最速下降法是以函數(shù)的一次近似提出的，如果要考慮二次近似，就有牛頓迭代法。

牛頓迭代法

在點(diǎn)X^k處對目標(biāo)函數(shù)按Taylar展開：

?

?令

得

即

可見X的搜索方向是，函數(shù)值要在此方向上下降，就需要它與梯度的方向相反，即。所以要求在每一個迭代點(diǎn)上Hesse矩陣必須是正定的。

練習(xí)：求的極小點(diǎn)，初始點(diǎn)取X=(0,3)。

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?牛頓法是二次收斂的，并且收斂階數(shù)是2。一般目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)附近呈現(xiàn)為二次函數(shù)，于是可以想像最優(yōu)點(diǎn)附近用牛頓迭代法收斂是比較快的。而在開始搜索的幾步，我們用梯度下降法收斂是比較快的。將兩個方法融合起來可以達(dá)到滿意的效果。

收斂快是牛頓迭代法最大的優(yōu)點(diǎn)，但也有致命的缺點(diǎn)：Hesse矩陣及其逆的求解計算量大，更何況在某個迭代點(diǎn)X^k處Hesse矩陣的逆可能根本就不存在（即Hesse矩陣奇異），這樣無法求得X^k+1。

擬牛頓法

Hesse矩陣在擬牛頓法中是不計算的，擬牛頓法是構(gòu)造與Hesse矩陣相似的正定矩陣，這個構(gòu)造方法，使用了目標(biāo)函數(shù)的梯度（一階導(dǎo)數(shù)）信息和兩個點(diǎn)的“位移”（X_k-X_k-1）來實(shí)現(xiàn)。有人會說，是不是用Hesse矩陣的近似矩陣來代替Hesse矩陣，會導(dǎo)致求解效果變差呢？事實(shí)上，效果反而通常會變好。

擬牛頓法與牛頓法的迭代過程一樣，僅僅是各個Hesse矩陣的求解方法不一樣。

在遠(yuǎn)離極小值點(diǎn)處，Hesse矩陣一般不能保證正定，使得目標(biāo)函數(shù)值不降反升。而擬牛頓法可以使目標(biāo)函數(shù)值沿下降方向走下去，并且到了最后，在極小值點(diǎn)附近，可使構(gòu)造出來的矩陣與Hesse矩陣“很像”了，這樣，擬牛頓法也會具有牛頓法的二階收斂性。

對目標(biāo)函數(shù)f(X)做二階泰勒展開：

兩邊對X求導(dǎo)

當(dāng)X=X_i時，有

這里我們用H_i來代表在點(diǎn)X_i處的Hesse矩陣的逆，則

(5)式就是擬牛頓方程。

下面給出擬牛頓法中的一種--DFP法。

令

我們希望H_i+1在H_i的基礎(chǔ)上加一個修正來得到：

給定E_i的一種形式：

m和n均為實(shí)數(shù)，v和w均為N維向量。

(6)(7)聯(lián)合起來代入(5)可得：

下面再給一種擬牛頓法--BFGS算法。

?

(8)式中黑色的部分就是DFP算法，紅色部分是BFGS比DFP多出來的部分。

BFGS算法不僅具有二次收斂性，而且只有初始矩陣對稱正定，則BFGS修正公式所產(chǎn)生的矩陣H_k也是對稱正定的，且H_k不易變?yōu)槠娈?#xff0c;因此BFGS比DFP具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。

共軛方向法

最速下降法有鋸齒現(xiàn)像，收斂速度慢；而牛頓法需要計算Hesse矩陣而計算量大。共軛方向法收斂速度界于兩者之間，具有二次收斂性。共軛方向法屬于效果好而又實(shí)用的方法。

由于一般目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)點(diǎn)附近呈現(xiàn)為二次函數(shù)，因此可以設(shè)想一個算法對于二次函數(shù)比較有效，就可能對一般函數(shù)也有較好效果。共軛方向法是在研究對稱正定二次函數(shù)的基礎(chǔ)上提出來的。

則稱兩個向量P₀和P₁為Q的共軛向量。當(dāng)Q為單位向量時，有，所以“共軛”是“正交”的推廣。

對于二次正定函數(shù)，從任意點(diǎn)X⁰出發(fā)，沿任意下降方向P⁰作直線搜索得到X¹，再從X¹出發(fā)，沿與P⁰共軛的方向P¹作直線搜索，即可得到f(X)的極小點(diǎn)。

當(dāng)一組向量Pⁱ（i=1,2,...,n-1）為Q共軛時，從任意點(diǎn)出發(fā)，依次沿P⁰,P¹,P²,...,P^n-1方向作下述算法的直線搜索，經(jīng)過n次迭代必定收斂于正定二次函數(shù)的極小點(diǎn)。

為確定最優(yōu)步長t_k,令

現(xiàn)在問題是如何產(chǎn)生一組關(guān)于Q共軛的向量？這里一種叫作Gram-Schmidt的方法。

取線性無關(guān)的向量組V⁰,V¹,...,V^n-1，例如取n個坐標(biāo)軸的單位向量。

取P⁰=V⁰.

上面的方法都是針對目標(biāo)函數(shù)為正定二次函數(shù)的，對于一般非二次函數(shù)，可以通過二次近似。

這就是f(X)在極小點(diǎn)X*處的近似，是Hesse矩陣，相當(dāng)于Q，由于X*未知，但當(dāng)X⁰充分接近于X*時，可用近似代替，從而構(gòu)造共軛向量。

理論與實(shí)踐證明，將二次收斂算法用于非二次的目標(biāo)函數(shù)，亦有很好的效果，但迭代次數(shù) 不一定保證有限次，即對非二次n維目標(biāo)函數(shù)經(jīng)n步共軛方向一維搜索不一定就能達(dá)到極小點(diǎn)。在這種情況下，為了找到極小點(diǎn)，可用泰勒級數(shù)將該函數(shù)在極小點(diǎn)附 近展開，略去高于二次的項之后即可得該函數(shù)的二次近似。實(shí)際上很多的函數(shù)都可以用二次函數(shù)很好地近似，甚至在離極小點(diǎn)不是很近的點(diǎn)也是這樣。故用二次函數(shù) 近似代替非二次函數(shù)來處理的方法不僅在理論分析上是重要的，而且在工程實(shí)際應(yīng)用中也是可取的。

共軛梯度法

共軛梯度法是共軛方向法的一種延伸，初始共軛向量P⁰由初始迭代點(diǎn)X⁰處的負(fù)梯度-g⁰來給出。以后的P^k由當(dāng)前迭代點(diǎn)的負(fù)梯度與上一個共軛向量的線性組合來確定：

對于非二次函數(shù)的優(yōu)化問題，迭代次數(shù)不止n次，但共軛方向只有n個。當(dāng)?shù)鷑次后，可以把Pⁿ重新置為最開始的P⁰，其他的變量按原方法更新。

原文來自:博客園（華夏35度）http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang 作者:Orisun

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/litian0605/p/5253345.html

總結(jié)

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