題目描述

卡德加有N個兔子籠，編號從1~N。剛開始每個兔子籠里有1對小兔，每個月小兔會長成大兔，之后的每個月這對大兔都會生出1對小兔。即兔子的繁殖遵循斐波那契數列的規律。
例如：第一個月1對小兔，第二個月1對大兔，第三個月1對小兔1對大兔，第四個月1對小兔2對大兔，第五個月2對小兔3對大兔……
卡德加學會了時間膜法，他可以對任意的[L,R]區間施加時間流逝K個月的膜法（如果他想要的話），使得這之中的兔子變為K個月后的景象。
卡德加有時想喂兔子，所以他需要知道任意的[L,R]區間內的兔子數量，即求出[L,R]區間內共有多少對兔子，大兔和小兔都需要算上。
這些操作都是在一個月內完成的，所以不必考慮自然時間流逝對兔子的影響。

輸入

第一行兩個正整數N,M，表示兔子籠的數目和操作的數目。
接下來M行，每行三個整數L,R,K。如果K>0，表示卡德加想對區間[L,R]施放時間流逝K個月的膜法。如果K=0，表示卡德加想要喂兔子了，輸出區間[L,R]內兔子總共有多少對。

輸出

對每個喂兔子的操作，輸出一行，一個數，表示兔子的對數。答案對10007取模。

樣例輸入

10 10
1 3 2
1 1 0
2 4 0
3 5 0
4 7 3
3 5 0
1 4 0
2 7 0
1 9 4
2 10 0

樣例輸出

2
5
4
8
9
16
121

題解

很顯然的線段樹類型題，但是操作不簡單。
考慮區間[L,R]內有A只小兔，B只大兔，那么經過K個月后，會有多少只呢？
根據斐波那契數列的遞推式，寫出矩陣，再寫出公式：
\(\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^{K}\cdot\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A'\\B'\end{bmatrix}\)
A'和B'就是K月之后的小兔和大兔數量。
對于矩陣乘方，可以使用矩陣快速冪。之后就可以和普通的線段樹一樣操作。
需要注意的是，這題有點卡常，所以注意對矩陣乘法和其它細節上的常數優化。
優化①：對于2*2的小矩陣，不寫結構體，不用循環，直接乘，會加快速度。
優化②：這是一個很有技巧的優化，注意到矩陣\(\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^{20016}\)在模10007意義下等于單位矩陣，即K=K%20016對結果沒有影響。根據這一點可以進行優化。這一點是如何想到的呢？首先應該想到，在模意義下，一切遞推式均會重復。然后可以打表找規律，找循環節。對于斐波那契數列，有定理宣稱，在模意義下，循環節長度不會超過模數的6倍。
優化③：繼續在②的基礎上優化，預處理出矩陣的0~20015次冪，做乘法時直接用，直接消滅了log和矩陣乘法的常數。
代碼如下：

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) 4 #define Mod 10007//題目要求的模數 5 #define Mod2 20016//循環節長度 6 #define getchar() (S==TT&&(TT=(S=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),TT==S)?EOF:*S++) 7 char BB[1<<15],*S=BB,*TT=BB;//快讀而已 8 inline int I(){//快讀 9 int x=0;char c=getchar(); 10 while(c<'0'||c>'9')c=getchar(); 11 while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=getchar(); 12 return x; 13 } 14 int a1[262145],a2[262145],lazy[262145]; 15 int A00[20016],A01[20016],A10[20016],A11[20016];//處理前20016次冪 16 int n,m,a,b,k,tmpa1,tmpa2; 17 inline int mo(int x){return x<Mod2?x:x-Mod2;} 18 void init(){//預處理過程 19 A00[0]=A11[0]=1, A01[0]=A10[0]=0; 20 F(i,1,20015) A00[i]=A01[i-1], A01[i]=(A00[i-1]+A01[i-1])%Mod, A10[i]=A11[i-1], A11[i]=(A10[i-1]+A11[i-1])%Mod; 21 } 22 void Mogic(int&x,int&y,int K){//對[x,y]施放時間流逝K月 23 tmpa1=(A00[K]*x+A01[K]*y)%Mod, tmpa2=(A10[K]*x+A11[K]*y)%Mod; 24 x=tmpa1, y=tmpa2; 25 } 26 inline void push_down(int l,int r,int i){ 27 if(!lazy[i]) return; 28 Mogic(a1[i<<1],a2[i<<1],lazy[i]); 29 Mogic(a1[i<<1|1],a2[i<<1|1],lazy[i]); 30 lazy[i<<1]=mo(lazy[i<<1]+lazy[i]); 31 lazy[i<<1|1]=mo(lazy[i<<1|1]+lazy[i]); 32 lazy[i]=0; 33 } 34 void build(int l,int r,int i){ a1[i]=(r-l+1)%Mod; if(l<r) build(l,(l+r)>>1,i<<1), build(((l+r)>>1)+1,r,i<<1|1);} 35 void Xu(int l,int r,int i){//時間流逝 36 if(r<a||b<l) return; 37 if(a<=l&&r<=b) { Mogic(a1[i],a2[i],k); lazy[i]=mo(lazy[i]+k); return; } 38 push_down(l,r,i); 39 Xu(l,(l+r)>>1,i<<1); 40 Xu(((l+r)>>1)+1,r,i<<1|1); 41 a1[i]=(a1[i<<1]+a1[i<<1|1])%Mod; 42 a2[i]=(a2[i<<1]+a2[i<<1|1])%Mod; 43 } 44 int Feed(int l,int r,int i){//喂兔子 45 if(r<a||b<l) return 0; 46 if(a<=l&&r<=b) return (a1[i]+a2[i])%Mod; 47 push_down(l,r,i); 48 return (Feed(l,(l+r)>>1,i<<1)+Feed(((l+r)>>1)+1,r,i<<1|1))%Mod; 49 } 50 int main(){ 51 init(); 52 n=I(),m=I(); 53 build(1,n,1);//建樹 54 F(i,1,m){ 55 a=I(),b=I(),k=I(); 56 if(k) { if(k%=Mod2) Xu(1,n,1); }//這里如果k是20016的倍數，就不用動了 57 else printf("%d\n",Feed(1,n,1)); 58 } 59 return 0; 60 }

轉載于:https://www.cnblogs.com/PinkRabbit/p/7429964.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【9018题解】2109 卡德加的兔子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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