題目鏈接

BZOJ

題解

拉格朗日乘數法

拉格朗日乘數法用以求多元函數在約束下的極值
我們設多元函數\(f(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n)\)
以及限制\(g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n) = E\)
我們需要求\(f\)在限制\(g\)下的極值
如圖

當\(f\)取到最值時，必然與\(g\)的等高線相切
所以我們只需找出這個切點
切點處兩函數的梯度向量平行\({\nabla f~//~\nabla g}\)
梯度向量的每一維就是該維下的偏導函數
\[{\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n})}\]
偏導可以理解為把別的變量看做常數，只對一個變量求導

所以只需令
\[\nabla f = \lambda \nabla g\]
可以得到\(n\)個方程，加上\(g\)本身就是一個方程
可以得到\(n + 1\)個方程，可解\(\lambda\)以及\(x_i\)

本題

限制是
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}s_ik_i(v_i - v'_i)^{2} = E\]
我們要最小化
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{s_i}{v_i}\]
利用拉格朗日乘數法，我們求出\(n + 1\)個方程
對于變量\(x_i\)的偏導，可得到方程
\[2\lambda k_iv_i^{2}(v_i - v'_i) = -1\]
首先\(v_i \ge v'_i\)，所以除\(\lambda\)外左邊是正的，所以\(\lambda\)是負的，然后可以發現\(v_i\)關于\(\lambda\)單調
而方程
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}s_ik_i(v_i - v'_i)^{2} = E\]
左邊也關于\(v_i\)單調，所以可以使用二分求解
當然求\(v_i\)也可以用牛頓迭代

還有就是精度要開夠大。。

#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt) #define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) #define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b) #define cls(s) memset(s,0,sizeof(s)) #define cp pair<int,int> #define LL long long int using namespace std; const int maxn = 10005,maxm = 100005; const double eps = 1e-13,INF = 1e12; int n; double E,v1[maxn],v[maxn],s[maxn],k[maxn]; inline double f(int i,double lam){return 2 * lam * k[i] * v[i] * v[i] * (v[i] - v1[i]) + 1; } inline double cal(double lam){REP(i,n){double l = max(v1[i],0.0),r = INF;while (r - l > eps){v[i] = (l + r) / 2.0;if (f(i,lam) >= 0) l = v[i];else r = v[i];}v[i] = l;}double re = 0;REP(i,n) re += s[i] * k[i] * (v[i] - v1[i]) * (v[i] - v1[i]);return re; } int main(){scanf("%d%lf",&n,&E);REP(i,n) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v1[i]);double l = -INF,r = 0,mid;while (r - l > eps){mid = (l + r) / 2.0;if (cal(mid) >= E) r = mid;else l = mid;}cal(l);double ans = 0;REP(i,n) ans += s[i] / v[i];printf("%.10lf\n",ans);return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/Mychael/p/9250271.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ2876 [Noi2012]骑行川藏 【拉格朗日乘数法】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。