---

title: 【概率論】1-0：Introduction
categories:

• Mathematic
• Probability
  keywords:
• Probability
• 概率
• the Frequency Interpretation
• 頻率概率
• the Classical Interpretation
• 古典概率
• the Subjective Interpretation
• 主觀概率
• the Axiomatic Interpretation
• 公理化概率
• Experiments
• 試驗
• Events
• 事件
  toc: true
  date: 2018-01-23 11:20:14

---

Abstract: 本文主要介紹概率的基本概念和觀點，主要為了說明概率是什么，同時給出比較重要的試驗和事件的解釋說明。

Keywords: Probability，the Frequency Interpretation，the Classical Interpretation，the Subjective Interpretation，the Axiomatic Interpretation，Experiments，Events

開篇廢話

雖然我很冷靜，但外面確實一片歌舞升平，各種AI應(yīng)用如雨后春筍，各路AI大神偽大神如跳梁小丑各種雷人的說法也是層出不窮，有些行業(yè)確實要看誰的跑的快，但是有些確實需要看誰跑的更遠，當方向明確的時候需要跑得快，方向不明的時候需要的是探路。
我本人的職業(yè)規(guī)劃可能這輩子都要干這個，當然哪天窮的吃不上飯了，也可能迫于生計去干點掙錢的活，但是我確定我的人生必然要與數(shù)學，算法，編程這些事情相伴，所以讓他們先去奔跑吧，我們繼續(xù)研究地圖和造車，等我們有了車可以很輕松的追上那些奔跑的，當然我們也不能掉以輕心，因為好多有GPS開跑車的也在加速前進，當然還有開飛機的，比我們厲害的人比比皆是，不要妄自菲薄，也別夜郎自大，打好基礎(chǔ)一步一個腳印的前進可能有時候會更快。

概率是什么？

世界上有確定一定要發(fā)生的事么？有，按照目前人類能理解的自然，有些公理是確定要發(fā)生的，所以公理是不證自明的，比如生老病死，這些事對于生物來說是一定會發(fā)生的，但是更多事是不太確定的，今天下不下雨？明天有沒有霧霾？后天拆不拆遷？
這里插播一條有點跑題的話，忘了哪本書曾經(jīng)說過，人類的文明發(fā)展的任務(wù)主線是理解自然，比如我們最開始的宗教，哲學，以及最近的科學，所有的這些都是在解釋自然現(xiàn)象，近代科學發(fā)展迅速的原因是因為科學，尤其是數(shù)學物理的發(fā)展，一些列結(jié)果表明科學可以更準確的描述和預(yù)測自然結(jié)果，沒錯概率論的任務(wù)很貼近上述的描述。
觀察我們周圍不確定事遠遠多于確定的事，當我們嚴格的定義了一件事的條件后（不存在模棱兩可的詞語），考慮這個條件產(chǎn)生結(jié)果的時候，這些結(jié)果一般是多個中的一個，雖然完全無法確定哪結(jié)果個會發(fā)生，扔硬幣，扔骰子，但這些結(jié)果范圍完全確定，概率論能幫我們確定么？不能，但是概率論能幫我們描述這個結(jié)果集，也就是某個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是多少（用數(shù)字來描述發(fā)生的可能性，0~1，越接近0表示發(fā)生的可能性越小，越接近1表示發(fā)生的可能性越大）。

試驗與事件

在我們深入研究概率是什么之前，我們先學習概率論從頭到尾都要用的兩個概念，試驗和事件，從我們傳統(tǒng)教育的角度來講，這兩個概念比本文其他討論的知識都重要，因為這個是考點，當然我認為其他的知識同樣重要，這兩個概念要從始至終的跟隨我們，但是其他知識告訴我們的是關(guān)于這個學科的整體思路，同樣重要。

Experiments(試驗)

Definition:An experiment is any process,real or hypothetical,in which the possible outcomes can be identified ahead of time

試驗可以使假設(shè)的也可以是實際的，但是他們的結(jié)果范圍必須要已知。

最簡單的real例子就是丟硬幣，結(jié)果可能是正面，反面，或者立著；hypothetical的例子就是有一個不能立起來的硬幣，丟硬幣的結(jié)果就是“正、反面”，不存在“立著”的結(jié)果。
概率中實際的試驗更有意義，因為我們的目的就是研究自然中實際存在的問題，當然有時候需要用hypothetical來建模實際的試驗。

Events(事件，隨機事件，偶然事件)

An event is a well-defined set of possible outcomes of the experiment

事件是個集合！事件是個集合！事件是個集合！
事件相對于試驗來說后面用到的更多，當我們描述一個過程的時候試驗是描述條件，對應(yīng)的我們知道結(jié)果集，事件的就是被完備定義的結(jié)果集合的子集。
解釋一下：我們定義或者已知了試驗，并對試驗結(jié)果了如指掌，我們知道并且確定實驗結(jié)果組成的集合X，那么事件就是X的子集x，數(shù)學描述：
$$x=\{x|x\in X,P(x)=1\}$$
其中P就是我們的well-define的抽象寫法，可以看成是函數(shù)P:
P(x)={0x?不滿足well-defined的定義?1x?滿足well-defined的定義? P(x)= \begin{cases} 0& \text{x 不滿足well-defined的定義 }\\ 1& \text{x 滿足well-defined的定義 } \end{cases} P(x)={01?x?不滿足well-defined的定義?x?滿足well-defined的定義??

概率只有針對事件的時候才有意義
舉幾個? ：

扔硬幣10次，出現(xiàn)五次正面的概率是多少？

Thomas Jefferson出生在1741的概率是多少？

分析：

例1中事件是出現(xiàn)五次正面，outcome集合是可以出現(xiàn)1次2次…10次

例2中的時間是出生在1741年，outcome集合是可以出生于人類出現(xiàn)那年~2019年

注意，event可以是空集哦

必然事件

肯定會發(fā)生的，扔骰子，點數(shù)小于7的事件是肯定發(fā)生的，也即必然事件是所有outcome的全集

不可能事件

不可能事件對應(yīng)必然事件，那就是其是個空集，比如扔骰子結(jié)果是-1點數(shù)的這個事件，或者結(jié)果既是基數(shù)又是偶數(shù)這個事件。

試驗與事件

這兩個概念之間還有一些其他的內(nèi)容，這里補充一下，試驗有的時候是人工的，比如扔硬幣，但有時候是不參與的，比如下雨，如果我們不參與試驗只是記錄試驗結(jié)果，這類試驗可以叫做“觀察”，在概率論中可能沒啥區(qū)別，但是在數(shù)理統(tǒng)計里面有區(qū)別。
上面例子2中我們不能明確的確定全部可能的outcome（我們不知道人類哪年出現(xiàn)的），但是結(jié)果范圍不會超出某個范圍，后面隨機變量出現(xiàn)的時候就是把這范圍進一步的用數(shù)學抽象，處理起來就更方便了。

關(guān)于概率的幾種觀點

對于概率的定義，目前沒有明確的一種定義被證明是真理而且他定義是謬論，而且這個問題的討論也不是我們目前這個階段要考慮的，很多事物我們并不知道其本身是什么，但我們卻在研究事物之間的關(guān)系。以下幾種觀點可以從不同角度學派來定義概率

The Frequency Interpretation

頻率派認為：事件的概率就是經(jīng)過大量重復(fù)試驗后，此事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，也就是事件出現(xiàn)的頻率，這個定義非常模糊，比如大量試驗，多大算大？一萬次？一億次？而且當我們用一萬次試驗定義某個事件概率后，又進行了一萬次試驗很有可能結(jié)果不一，也就是按照一個定義做了兩次，結(jié)果自相矛盾，那么這個定義是定義不成功的，但是這兩個結(jié)果應(yīng)該非常接近，或者說他們很接近真理了。
頻率派和統(tǒng)計派是一個派。

The Classical Interpretation

古典概率派：認為假設(shè)所有結(jié)果等可能性出現(xiàn)，然后每個結(jié)果出現(xiàn)的概率就是結(jié)果的個數(shù)分之一。
這個定義有點搞笑的是里面出現(xiàn)了可能性這個字，而我們要定義的就是可能性，換種說法讓他們定義人的話，他們會說：有一種是人的生物叫做人。這邏輯，神了吧
而且等可能性這個事情本身就不可能發(fā)生，比如扔硬幣，你覺得可能出現(xiàn)正反面的可能性一致，但其實考慮到硬幣兩面不同的樣式，以及重心的微弱變化，其結(jié)果不可能是完全等可能的。
但是這個古典派定義是很有用在于我們后面要反復(fù)研究丟硬幣，扔骰子來引出各種其他的概念

The Subjective Interpretation

主觀概率，這個更有意思了，是我們猜一個事件的概率，比如我們猜測一下一會兒下雨的可能性，張三可能是個老人家，他在這里住了一輩子，他估計下雨的可能性是70%因為他很了解這個地方的天氣，李四剛來本地，他說下雨的可能性是60%，他不熟悉本地天氣，但是他根據(jù)他的人生經(jīng)驗給出了一個概率，在問一個剛說話的小朋友一會兒下雨的概率是多少，他說10%，沒人信，他根本不知道10%什么意思，但是這也是他主觀的概率。
事實上主觀概率對于這個實驗的概率計算沒啥幫助，但是并不是完全沒有用的，我們可以通過這個概率來研究這些人的某些性質(zhì)，比如民調(diào)，那些萬惡的不自由沒人權(quán)的資本主義國家大選的時候不就經(jīng)常搞個民調(diào)，研究下大家覺得誰更有可能當總統(tǒng)。

The Axiomatic Interpretation

數(shù)學公理化是近代數(shù)學的主要發(fā)展方向，所以概率這么大的學科肯定也要進行公理化。
偉大的前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫通過極為簡單的若干個公理作為基礎(chǔ)，建立了概率論的宏偉大廈。
后面我們關(guān)于概率的定義會引用柯氏公理，但是我們要知道柯氏公理的意義在于他用數(shù)學手段嚴格了數(shù)學化的概率論。

我們并不能說上述四個角度的優(yōu)劣，頻率派，古典派這些我們都要進行一定研究，能夠準確的解決自然問題的都是好的，所以在沒有嚴格證偽的前提下，都要進行研究。

如何研究概率論

其實這個擴展到告訴我們?nèi)绾芜M行科學研究。
對于任何學科我們應(yīng)該仔細區(qū)分理論的三個方面，這三個方面相輔相成，拋開任何一個都沒辦法進行研究，或者研究完全會跑偏。

形式邏輯的內(nèi)容

公理化的數(shù)學只論及無定義事物見的關(guān)系，最簡單的就是幾何中點和線的關(guān)系，我們并不知道點是什么，也不知道線的定義是什么，但是我們可以研究這兩個對象見得關(guān)系，點和線在這里是無定義的概念，我們更關(guān)系其間的關(guān)系，比如兩個點確定一條直線，這是一個“規(guī)則的描述”，不同的公理系統(tǒng)能產(chǎn)生不同的規(guī)則，這樣研究不同的問題就有更方便貼切的工具了，這就是公理化數(shù)學的魅力，你可以自己建立自己的體系，當然你要足夠厲害。
國際象棋的例子也在于我們可以不知道每個棋子的本質(zhì)是什么，甚至我們可以給他們不同的名字，不叫皇后，馬什么的，改名叫a，b。。。照樣可以按照規(guī)則來完成棋局，規(guī)則才是主要的，甚至我們沒棋盤都能照樣玩。

直觀的背景

對于幾何和物理，我們有非常直觀的觀察對象，比如對于重力，我們能觀察蘋果落地，對一件事很熟悉了之后我們的感官并不會感到迷茫，雖然路邊的老人不懂概率論，但是你問他有多大可能性下雨的時候，他能用語言給你描述個大概，這里有部分是經(jīng)驗，有部分是直覺，當對某個領(lǐng)域非常熟悉后，直覺可能更可貴，雖然沒辦法用公理解釋證明。
概率剛出現(xiàn)的時候，其結(jié)論與人們固有思維甚至統(tǒng)治集團的思想宣傳都有沖突，但是百年之后，我們看到書上提到可能性的時候完全不會排斥，而是很輕松的就能理解其要表達的信息。

應(yīng)用

應(yīng)用是所有科學的最終目的，數(shù)學是抽象的工具，當要研究同一個自然現(xiàn)象的時候可以有無數(shù)多種抽象的數(shù)學模型：“數(shù)學理論的應(yīng)用方式不依賴于事先形成的意見，他是一種有目的技術(shù)，依賴于經(jīng)驗，而且隨經(jīng)驗改變”
再深入就是哲學了，我們必須剝離哲學和公理化的數(shù)學以及經(jīng)驗之間分別來研究，不然會跑偏。

以上三個方面是所有研究的基礎(chǔ)思想，公理邏輯是重要的工具和原料，背景，經(jīng)驗靈感給了我們設(shè)計圖紙，應(yīng)用是我們的目的，這樣捋順一下，豁然開朗不？

概率論的核心問題

以下部分是概率論現(xiàn)在研究以及以后都要研究的重點，也是概率論最核心的問題！

已知一個試驗的所有輸出及其概率，我們要確定一個方法來計算某個事件的概率。

當?shù)玫礁郊拥男畔⒑笕绾握{(diào)整修正當前事件的概率

總結(jié)

這是我寫過的最詳細的一篇介紹性文章，寫了很多知識，尤其是后面如何研究概率論，對其他科目也有極大幫助，我們算是正式開啟概率論了，明天繼續(xù)。。。

原文地址1：https://www.face2ai.com/Math-Probability-1-0-Introduction轉(zhuǎn)載請標明出處
原文地址2：https://www.tony4ai.com/Math-Probability-1-0-Introduction轉(zhuǎn)載請標明出處

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/face2ai/p/9756561.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【概率论】1-0：介绍的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。