https://blog.csdn.net/semiwaker/article/details/73251486

已知$B(x)$求：$A(x)=e^{B(x)}$

根據(jù)麥克勞林展開(kāi)：$e^{B(x)}=1+\frac{B(x)}{1!}+\frac{{B(x)}^2}{2!}+...+\frac{{B(x)}^n}{n!}$

用到指數(shù)函數(shù)的時(shí)候，就是推出式子是麥克勞林展開(kāi)的時(shí)候luoguP4841 城市規(guī)劃

前置知識(shí)：

1.牛頓迭代

至于g(f(x))沒(méi)有什么具體表達(dá)式當(dāng)然也是沒(méi)有辦法算的。

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關(guān)于泰勒展開(kāi)泰勒公式_百度百科

思路就是用某一個(gè)點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)和本身的函數(shù)值，來(lái)無(wú)限逼近整個(gè)函數(shù)的值

后面的麥克勞林展開(kāi)用的也比較多

第一點(diǎn)非常關(guān)鍵，

就是，我們這里要求F(x)，所以不妨把F(x)看做變量x，這樣，A(x)就是常數(shù)，

反正，式子就是:g(f)=f^2-A，直接求導(dǎo)即可

（至于多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，那個(gè)是把x看做自變量（G(x)是一次的，再看成自變量就沒(méi)了。。））

?

2.多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)

?學(xué)習(xí)筆記](méi)多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)

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正題

代碼：

注意lnG(X)這里，必須是mod x^n的意義下的

#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define reg register int #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){char ch;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=8*1e5+5; const int mod=998244353; const int G=3; const int GI=332748118; int n,m; int qm(int x,int y){int ret=1;while(y){if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;y>>=1;}return ret; } int f[N],t[N],e[N],b[N],p[N],ni[N],g[N],lg[N]; int rev[N]; void NTT(int *f,int n,int c){for(reg i=0;i<n;++i){if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);}for(reg p=2;p<=n;p<<=1){int gen;if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p);else gen=qm(GI,(mod-1)/p);for(reg l=0;l<n;l+=p){int buf=1;for(reg k=l;k<l+p/2;++k){int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod;f[k+p/2]=(f[k]-tmp+mod)%mod;f[k]=(f[k]+tmp)%mod;buf=(ll)buf*gen%mod;}}} } void inv(int *f,int *g,int n){if(n==1){g[0]=qm(f[0],mod-2);return;}inv(f,g,n>>1);for(reg i=0;i<n;++i) p[i]=f[i];for(reg i=n;i<2*n;++i) p[i]=0;for(reg i=0;i<2*n;++i){rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);}NTT(g,2*n,1);NTT(p,2*n,1);for(reg i=0;i<2*n;++i){g[i]=((ll)2-(ll)g[i]*p[i]%mod+mod)%mod*g[i]%mod;}NTT(g,2*n,-1);int iv=qm(2*n,mod-2);for(reg i=0;i<2*n;++i){if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;else g[i]=0;} } void dao(int *f,int n){for(reg i=0;i<n-1;++i){f[i]=(ll)f[i+1]*(i+1)%mod;}f[n-1]=0; } void ji(int *f,int n){for(reg i=n-1;i>=1;--i){f[i]=(ll)f[i-1]*qm(i,mod-2)%mod;}f[0]=0; } void ln(int *f,int *g,int n){for(reg i=0;i<n;++i) ni[i]=0;for(reg i=n;i<2*n;++i) ni[i]=0,b[i]=0;inv(f,ni,n);for(reg i=0;i<n;++i) b[i]=f[i];dao(b,n);for(reg i=0;i<2*n;++i){rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);}NTT(b,2*n,1);NTT(ni,2*n,1);for(reg i=0;i<2*n;++i){g[i]=(ll)b[i]*ni[i]%mod;}NTT(g,2*n,-1);int iv=qm(2*n,mod-2);for(reg i=0;i<2*n;++i){if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;else g[i]=0;}ji(g,n); } void exp(int *f,int *g,int n){if(n==1){g[0]=1;return;}exp(f,g,n>>1);for(reg i=0;i<n;++i) lg[i]=0;ln(g,lg,n); // cout<<" Exp "<<n<<endl; // for(reg i=0;i<n;++i){ // printf("%d ",lg[i]); // }puts(""); // cout<<" now "<<endl; // for(reg i=0;i<n;++i){ // cout<<g[i]<<" "; // }cout<<endl; lg[0]=(1+f[0]-lg[0]+mod)%mod;for(reg i=1;i<n;++i) lg[i]=(f[i]-lg[i]+mod)%mod; // cout<<" glglg "<<endl; // for(reg i=0;i<n;++i){ // cout<<lg[i]<<" "; // }cout<<endl; // for(reg i=0;i<n;++i) p[i]=f[i]; // for(reg i=n;i<2*n;++i) p[i]=0; // NTT(p,2*n,1);for(reg i=0;i<2*n;++i){rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);}NTT(lg,2*n,1);NTT(g,2*n,1); // for(reg i=0;i<2*n;++i){ // g[i]=(ll)(1-lg[i]+p[i]+mod)%mod*g[i]%mod; // }for(reg i=0;i<2*n;++i){g[i]=(ll)lg[i]*g[i]%mod;}NTT(g,2*n,-1);int iv=qm(2*n,mod-2);for(reg i=0;i<2*n;++i){if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;else g[i]=0;} } int main(){rd(n);for(reg i=0;i<n;++i) rd(f[i]);int len,lp;for(lp=n,len=1;len<=lp;len<<=1); // cout<<" start len "<<len<<endl; exp(f,g,len);for(reg i=0;i<n;++i){printf("%d ",g[i]);}return 0; }} signed main(){Miracle::main();return 0; }/*Author: *Miracle*Date: 2019/2/1 16:01:41 */

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[学习笔记]多项式指数函数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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