【題 ? 目】輸入一個整數n，求從1到n這n個正數中，1出現的次數。例如：輸入12，出現一的數字有1，10，11，12共有5個1，則輸出5.

　　【思 路1】幾乎所有的算法題目都有很直觀容易想到的方法，當然這類方法的效率通常都不是很好，然而解決問題是第一要義。所以還是從最容易想到的入手。我們可以遍歷從1到n的每一個數字k，對于k我們計算出它其中包含的1的個數，方法其實很簡單，只需要分別判斷個位，十位，百位，千位等的每一位是否為1，然后用計數器記錄就OK了。這種思路很簡單，我們很容易就可以寫出如下的代碼：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 //返回任意一個整數k中包含的1的個數
6 int NumbersOf1s(unsigned int k)
7 {
8 int cnt = 0;
9 while(k)
10 {
11 //該位是1，計數器就加1；
12 if(k % 10 == 1)
13 cnt++;
14
15 k = k / 10;
16 }
17
18 return cnt;
19 }
20
21 //返回從1到n的n個整數中所包含的1的個數
22 int NumbersOf1sFrom1ToN(unsigned int n)
23 {
24 if(n < 0)
25 return 0;
26
27 int count = 0;
28 for(int i = 1;i <= n;i++)
29 {
30 count += NumbersOf1s(i);
31 }
32
33 return count;
34 }
35
36 int main()
37 {
38 cout<<"Please Enter the number N:"<<endl;
39 unsigned int number = 0;
40 cin>>number;
41
42 cout<<"The Numbers of 1 From 1 to N is:"<<endl;
43 cout<<NumbersOf1sFrom1ToN(number)<<endl;
44
45 return 0;
46 }

　　運行結果如下：

　

---

【思 路2】上述算法的效率不是很好，尤其對于n非常大的情況，這種算法花費的時間很長。其實我們并不需要對于每一個數字計算出它包含的1的個數，我們可以逐位考慮，所有1的個數等于個位上1的個數+十位上1的個數+百位上1的個數+千位上1的個數+。。。接下來的問題，就是如何求解這些位上1的個數？

　　首先，我們有如下比較容易得到的結論，0-9中1的個數是1個，0-99中十位（10-19）上1的個數是10，0-999中百位上（100-199）上1的個數是100，以此類推。為什么需要這些數字，我們經過簡單羅列，很容易發現：個位上1的個數，實際上和這個數字包含多少個10有關，因為對于個位來說，總是從0-9循環，十位上1的個數，實際上和這個數字包含多少個100有關，因為每包含1個100，就有0-99的循環，而0-99中十位上的1是10個；那么關系究竟是什么呢？我們看下面的例子來理解：

　　對于數字123：

　　123/10=12，包含12個10，每個10包含1個1（個位1）所以個位共包含12*1=12個1；余數的情況后面單獨討論；

　　123/100（或者12/10）=1，包含1個100，每個100包含10個1（十位1），所以十位共包含1*10=10個1；余數的情況后面單獨討論；

　　123/1000（或者1/10）=0，包含0個1000，每個1000包含100個1（百位1），所以百位共包含0*100=0個1；余數的情況后面單獨討論；

　　現在考慮余數的兩種情況：

　　（1）余數大于1的情況：

　　數個位時，余數3大于1；所以個位上1的個數要+1；

　　數十位時，余數2大于1；因為增加了100-120之間（10-19）的數字即110-119，所以十位上1的個數要+10；

　　（2）余數等于1的情況：

　　數百位時，余數等于1；我們應該增加100-123這24個數字中百位上的1，共計24個；

　　在上面的計算中我們發現123/1000=0包含0個1000，所以百位包含0*100個1,這是常規的情況，實際上由于百位為1，從100到n（123）中還應增加：123-100+1個1.

　　總結上面的情況：就是對于每一位（個位，十位，百位），我們計算他們“通常”情況下（即該數字包含多少個10，100，1000乘以對應的1的個數）包含的1的個數+該位上余數大于1（等于1）的情況下包含的1的個數 = 該位上1的總個數，所有的位遍歷，求和，就OK了。根據這種思路我們可以得到如下的代碼：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 int NumbersOf1sFrom1ToN(unsigned int n)
6 {
7 int currentN = n;
8
9 //計數器
10 int cnt = 0;
11
12 //商，計算該數字包含多少個10，100，1000等
13 int quotient = 0;
14
15 //余數，計算除去“整”的包含，剩下的數字包含的1的個數
16 int remainder = 0;
17
18 //每一輪循環中的權重，分別記錄10，100，1000中包含多少個位1，十位1，百位1；
19 int mult = 1;
20
21 while(currentN)
22 {
23 quotient = currentN / 10;
24 remainder = currentN % 10;
25
26 //包含多少個10，100，1000，乘以對應的數量的個位1，十位1，百位1
27 cnt += quotient * mult;
28
29 //余數大于1，多加一個該輪下的權重
30 if(remainder > 1)
31 {
32 cnt += mult;
33 }
34 //余數等于1
35 else if(remainder == 1)
36 {
37 cnt += n - currentN * mult + 1;
38 }
39
40
41 currentN = currentN / 10;
42 mult *= 10;
43 }
44
45 return cnt;
46 }
47
48 int main()
49 {
50 cout<<"please enter the number N:"<<endl;
51 unsigned int number = 0;
52 cin>>number;
53
54 cout<<"the number of 1s From 1 to N is:"<<endl;
55 cout<<NumbersOf1sFrom1ToN(number)<<endl;
56
57 return 0;
58 }

　　運行結果如下：

---

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References:

程序員面試題精選100題：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200732494452636/

注：

1）本博客所有的代碼環境編譯均為win7+VC6。所有代碼均經過博主上機調試。

2）博主python27對本博客文章享有版權，網絡轉載請注明出處http://www.cnblogs.com/python27/。對解題思路有任何建議，歡迎在評論中告知。

轉載于:https://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/12/14/2288205.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法21】从1到n的正数中1的出现次数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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