摘要: 轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明來自stanlysheng——talk is cheap, show me your code。http://www.cnblogs.com/stanly/?。謝謝。此文我也在CSDN發(fā)過。

最近在學(xué)習(xí)子圖同構(gòu)算法。什么是子圖同構(gòu)，看這里-->圖論。在圖論的維基百科中有子圖同構(gòu)的描述。

子圖同構(gòu)一直是圖論中比較重要的一個(gè)問題，經(jīng)過各位大牛長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)和研究，發(fā)現(xiàn)求解子圖同構(gòu)是一個(gè)NP完全問題。什么是NP完全問題，可以戳這里--->NP完全。

在經(jīng)過不斷地搜索和閱讀論文，發(fā)現(xiàn)了不少論文都在討論子圖同構(gòu)算法。出現(xiàn)得比較多并且很多人都知道并認(rèn)可的，有這么幾種算法：Ullmann算法、Nauty算法、SD算法、VF算法以及在VF算法上進(jìn)行改進(jìn)的VF2算法。其中Ullmann算法應(yīng)該是最早提出的可以找到子圖同構(gòu)的算法。因此現(xiàn)在學(xué)習(xí)圖論如果設(shè)計(jì)到同構(gòu)，雖然不會(huì)用ullmann算法，但是一般都會(huì)以其作為對(duì)子圖同構(gòu)的基礎(chǔ)進(jìn)行了解和學(xué)習(xí)。中間三種算法尚未研究，以后可能會(huì)看，因?yàn)闀r(shí)間和研究原因我的重點(diǎn)在第一個(gè)ullmann和最后的公認(rèn)最好的VF2算法。

在最壞情況下，ullmann算法的時(shí)間復(fù)雜度與圖中節(jié)點(diǎn)數(shù)目的指數(shù)成正比。ullmann算法以深度優(yōu)先的方式進(jìn)行搜索，搜索過程表示為一個(gè)布爾矩陣。當(dāng)節(jié)點(diǎn)不匹配時(shí)則回溯到最近匹配的節(jié)點(diǎn)，尋找其他的搜索方向。同時(shí)，算法還會(huì)檢查匹配點(diǎn)對(duì)的鄰接點(diǎn)的匹配情況，盡可能早的識(shí)別出不可匹配的節(jié)點(diǎn)。提高算法的效率。

先介紹深度優(yōu)先的簡(jiǎn)單窮舉方法，這個(gè)階段不包含上面說的檢查匹配點(diǎn)對(duì)的鄰接點(diǎn)的匹配情況（即refine procedure），將在后面我寫好代碼之后再發(fā)。

此搜索方法其實(shí)是深度優(yōu)先遍歷兩圖的關(guān)聯(lián)矩陣，來找到滿足其子圖同構(gòu)的關(guān)聯(lián)矩陣。

對(duì)于給定的兩個(gè)圖，是從節(jié)點(diǎn)數(shù)目大的那個(gè)圖中尋找部分節(jié)點(diǎn)和邊，和節(jié)點(diǎn)數(shù)目小的圖是同構(gòu)的。

圖G1=<V1，E1>,G2=<V1，E1>，G1 和G2 的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為p1和p2。他們的鄰接矩陣表示分別為A=[aij]和B=[bij]。

該算法要尋找的同構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為尋找兩圖的一個(gè)關(guān)聯(lián)矩陣M，這是一個(gè)p1*p2的矩陣，其元素mij表示G1的第 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)和G2的第 j 個(gè)節(jié)點(diǎn)是否對(duì)應(yīng)。因此這個(gè)矩陣的限制為：每行只有一個(gè)1，而每列最多只有一個(gè)1 。因此mij==1表示G1的第 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)和G2的第 j 個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)。否則不對(duì)應(yīng)。

條件（1）判定：當(dāng)找到這樣一個(gè)M`的時(shí)候我們進(jìn)行如下操作得到另一個(gè)p1*p1的矩陣C，定義C為：C=M`（M`B）T，后面的T表示（M`B）做轉(zhuǎn)置。即M`乘以[（M`B）的轉(zhuǎn)置]得到C，如果對(duì)于每一個(gè)i , j 都屬于（1，p1）都滿足當(dāng)aij == 1 時(shí) 有cij == 1。那么我們就稱此時(shí)的矩陣M`標(biāo)識(shí)了G1 到G2子圖的一個(gè)同構(gòu)。

初始化M的時(shí)候，遵循下面的原則：

如果G2的第 j 個(gè)節(jié)點(diǎn)的度大于或者等于G1的第 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)的度（表示可能匹配但是不一定），則mij = 1。否則等于0。（此原則是針對(duì)無(wú)向圖，如果是對(duì)于有向圖則有出度和入度均要大于等于，對(duì)于節(jié)點(diǎn)可能有其他屬性的情況也是類似，保證G2的屬性或者條件強(qiáng)于G1即可）。

所以深度優(yōu)先搜索的就是將M0深度遍歷找到所有的滿足條件（1）判定的矩陣。

深度優(yōu)先搜索中，使用d來表示搜索中的層（第幾行），使用一個(gè)大小為p2的向量F{F1，F2，…F（x）…，F（p2）}（數(shù)組表示）來表示哪一列被使用了。比如F[2]==1表示在搜索中第二列被使用了，如果F[2]==0則表示沒被使用。同樣還使用一個(gè)大小為p1的向量H{H1，H2，……，H（p1）}來表示在哪一層使用了哪一列。H[d] = k表示在層d中使用了第k列。

除此之外，還需要一個(gè)三維矩陣來記錄每層變化過的M`，保證回溯的時(shí)候可以回到上一層。第一維長(zhǎng)度和d大小一樣。二維三維即為M的維度。

Ullmann算法的提出者Ullmann的論文，比較早論文寫得挺難懂的。他的偽代碼有些需要改動(dòng)。偽代碼如下：

step1 ? ??

construct ?M0，M=M0,d=0, H[0] = 0;

for element in F set element = 0

if ?m has a row that all zero ?return; (這一步可以放在refine里面)

?

step2 ? ??

if there are no value of j such ?that ?m[d][j] && F[j] = 0 ?then goto step7

matrixlist[d] = M

if d = 0 then k = H[0] else k = 0

?

step3 ? ? ?

if ?matrixlist[d][d][k] = 0 or?F[k] == 1

then ?if k < p2-1 then k+=1 and goto step3 else goto step7

else ?for all j != k set m[d][j] = 0;

?

step4 ? ? ?if d < p1 then goto step6 else ? ( H[d] = k and use condition(1) and giveoutput if an isomorphism is found )

?

step5 ? ??

if there is no j > k such that m[d][j] = 1 and F[j] = 0 then k += 1 and ?goto step7

else k += 1 and goto step3

?

step6 ? ?

?H[d] = k

F[k] = 1

d +=1

goto?step2

?

step7 ? ??

if d ==0 then terminate algorithm

if k < p2-1 then copy matrixlist[d] ?to M and goto step5

else ?d= d-1 ? ? k = H[d] ? ?F[k]=0?copy matrixlist[d] ?to M and goto step5

以上就是算法程序的偽代碼。具體實(shí)現(xiàn)還是需要自己動(dòng)手。主要流程就是這樣的，缺少的就是condition（1）的判斷（包含矩陣的轉(zhuǎn)置和兩矩陣的乘法）。很簡(jiǎn)單，自己加上。之后學(xué)習(xí)完refine procedure之后會(huì)再加上。暫時(shí)就這么多。

國(guó)內(nèi)真心很少有這個(gè)問題的資料，一些論文都是應(yīng)用子圖同構(gòu)算法，極少有詳細(xì)講這些算法的。

摘要: 轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明來自stanlysheng——talk is cheap, show me your code。http://www.cnblogs.com/stanly/?。謝謝。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/stanly/p/ullmann_algorithm.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的子图同构算法——Ullmann算法（1）不包含refine procedure的简单穷举算法。的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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