1968: [Ahoi2005]COMMON 約數(shù)研究
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Description

Input
只有一行一個(gè)整數(shù) N（0 < N < 1000000）。

Output
只有一行輸出，為整數(shù)M，即f(1)到f(N)的累加和。

Sample Input
3

Sample Output
5

HINT

Source
Day2

奇怪的姿勢(shì)，不過非常神！

求1-n的所有數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，不妨可以轉(zhuǎn)化一下，題目中f【i】為i的約數(shù)個(gè)數(shù)，但在做題中不妨從1~枚舉i，計(jì)算后的f【i】表示1~n中約數(shù)包含i的數(shù)的個(gè)數(shù)，即約數(shù)i對(duì)答案的貢獻(xiàn)。
然后，思考快速的方法去實(shí)現(xiàn)上述要求，不妨先小規(guī)模打表找找規(guī)律（于是打出N=14的表）：

于是我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，所有對(duì)答案貢獻(xiàn)相同的i，是必定相鄰的，那么要想優(yōu)化時(shí)間，不妨能夠枚舉中多步跳躍？
于是開始找規(guī)律：
首先，一個(gè)數(shù)i，它對(duì)答案的貢獻(xiàn)（1~n中 約數(shù)包含i的數(shù)的個(gè)數(shù)）為 n/i下取整…（如何證明？）
十分的簡單，首先，假使n%i==0，那么1~n中，約數(shù)包含i的數(shù)的個(gè)數(shù)必定是n/i，那么當(dāng)n%i！=0，那些多出來的數(shù)的約數(shù)是不含i的，那么剩下的便同整除時(shí)一樣。得證。。。
那么再發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律， 試計(jì)算n/（n/i）（/為C++中整除），i取不同的值，于是發(fā)現(xiàn)，在同一個(gè)周期中（暫且稱那些貢獻(xiàn)相同的數(shù)為一個(gè)周期），上述計(jì)算值相同，且都為這個(gè)周期的末尾。
于是高效率的做法就是，每次都增加n/（n/i）步，答案用(n/（n/i）-i+1)*(n/i)來統(tǒng)計(jì)即可，如此效率大概是O（logn）級(jí)的，于是順利完成。

簡短的代碼：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; long long ans=0; int n;int main() {scanf("%d",&n); for (int i=1,j=0; i<=n; i=j+1)j=n/(n/i),ans+=(j-i+1)*(n/i);printf("%lld\n",ans);return 0; }

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/DaD3zZ-Beyonder/p/5346203.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ-1968 COMMON 约数研究 数论+奇怪的姿势的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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