在“文本比較算法Ⅰ——LD算法”中介紹了基于編輯距離的文本比較算法——LD算法。

　　本文介紹基于最長(zhǎng)公共子串的文本比較算法——Needleman/Wunsch算法。

　　還是以實(shí)例說明：字符串A=kitten，字符串B=sitting

　　那他們的最長(zhǎng)公共子串為ittn（注：最長(zhǎng)公共子串不需要連續(xù)出現(xiàn)，但一定是出現(xiàn)的順序一致），最長(zhǎng)公共子串長(zhǎng)度為4。

　　

　　定義：

　　LCS(A,B)表示字符串A和字符串B的最長(zhǎng)公共子串的長(zhǎng)度。很顯然，LSC(A,B)=0表示兩個(gè)字符串沒有公共部分。

　　Rev(A)表示反轉(zhuǎn)字符串A

　　Len(A)表示字符串A的長(zhǎng)度

　　A+B表示連接字符串A和字符串B

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　　性質(zhì)：

　　LCS(A,A)=Len(A)

　　LCS(A,"")=0

　　LCS(A,B)=LCS(B,A)

　　0≤LCS(A,B)≤Min(Len(A),Len(B))

　　LCS(A,B)=LCS(Rev(A),Rev(B))

　　LCS(A+C,B+C)=LCS(A,B)+Len(C)

　　LCS(A+B,A+C)=Len(A)+LCS(B,C)

　　LCS(A,B)≥LCS(A,C)+LCS(B,C)

　　LCS(A+C,B)≥LCS(A,B)+LCS(B,C)

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　　為了講解計(jì)算LCS(A,B)，特給予以下幾個(gè)定義

　　A=a₁a₂……a_N，表示A是由a₁a₂……a_N這N個(gè)字符組成，Len(A)=N

　　B=b₁b₂……b_M，表示B是由b₁b₂……b_M這M個(gè)字符組成，Len(B)=M

　　定義LCS(i,j)=LCS(a₁a₂……a_i,b₁b₂……b_j)，其中0≤i≤N，0≤j≤M

　　故：　　LCS(N,M)=LCS(A,B)

　　　　　　LCS(0,0)=0

　　　　　　LCS(0,j)=0

　　　　　　LCS(i,0)=0

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　　對(duì)于1≤i≤N，1≤j≤M，有公式一

　　若a_i=b_j，則LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1

　　若a_i≠b_j，則LCS(i,j)=Max(LCS(i-1,j-1),LCS(i-1,j),LCS(i,j-1))

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　　計(jì)算LCS(A,B)的算法有很多，下面介紹的Needleman/Wunsch算法是其中的一種。和LD算法類似，Needleman/Wunsch算法用的都是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想。在Needleman/Wunsch算法中還設(shè)定了一個(gè)權(quán)值，用以區(qū)分三種操作（插入、刪除、更改）的優(yōu)先級(jí)。在下面的算法中，認(rèn)為三種操作的優(yōu)先級(jí)都一樣。故權(quán)值默認(rèn)為1。

　　

　　舉例說明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，計(jì)算LCS(A,B)

　　第一步：初始化LCS矩陣

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?

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　　第二步：利用公式一，計(jì)算矩陣的第一行

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?

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?　　第三步：利用公式一，計(jì)算矩陣的其余各行

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

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　　則，LCS(A,B)=LCS(7,11)=6

　　可以看出，Needleman/Wunsch算法實(shí)際上和LD算法是非常接近的。故他們的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度也一樣。時(shí)間復(fù)雜度為O(MN)，空間復(fù)雜度為O(MN)。空間復(fù)雜度經(jīng)過優(yōu)化，可以優(yōu)化到O(M)，但是一旦優(yōu)化就喪失了計(jì)算匹配字串的機(jī)會(huì)了。由于代碼和LD算法幾乎一樣。這里就不再貼代碼了。

　　

　　還是以上面為例A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，LCS(A,B)=6

　　他們的匹配為：

　　　　A：GGA_TC_G__A

　　　　B：GAATTCAGTTA

　　如上面所示，藍(lán)色表示完全匹配，黑色表示編輯操作，_表示插入字符或者是刪除字符操作。如上面所示，藍(lán)色字符有6個(gè)，表示最長(zhǎng)公共子串長(zhǎng)度為6。

　　利用上面的Needleman/Wunsch算法矩陣，通過回溯，能找到匹配字串

　　第一步：定位在矩陣的右下角

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

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　　第二步：回溯單元格，至矩陣的左上角

　　　　若a_i=b_j，則回溯到左上角單元格

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

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?　　　　若a_i≠b_j，回溯到左上角、上邊、左邊中值最大的單元格，若有相同最大值的單元格，優(yōu)先級(jí)按照左上角、上邊、左邊的順序

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

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　　　　若當(dāng)前單元格是在矩陣的第一行，則回溯至左邊的單元格

　　　　若當(dāng)前單元格是在矩陣的第一列，則回溯至上邊的單元格

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Needleman/Wunsch算法矩陣??GAATTCAGTTA?GGATCGA

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

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　　　　依照上面的回溯法則，回溯到矩陣的左上角

　　第三步：根據(jù)回溯路徑，寫出匹配字串

　　　　若回溯到左上角單元格，將a_i添加到匹配字串A，將b_j添加到匹配字串B

　　　　若回溯到上邊單元格，將a_i添加到匹配字串A，將_添加到匹配字串B

　　　　若回溯到左邊單元格，將_添加到匹配字串A，將b_j添加到匹配字串B

　　　　搜索晚整個(gè)匹配路徑，匹配字串也就完成了

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　　可以看出，LD算法和Needleman/Wunsch算法的回溯路徑是一樣的。這樣找到的匹配字串也是一樣的。

　　不過，Needleman/Wunsch算法和LD算法一樣，若要找出匹配字串，空間的復(fù)雜度就一定是O(MN)，在文本比較長(zhǎng)的時(shí)候，是極為耗用存儲(chǔ)空間的。故若要計(jì)算出匹配字串，還得用其他的算法，留待后文介紹。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/jxldjsn/p/6095481.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的文本比较算法Ⅱ——Needleman/Wunsch算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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