【題目描述：】

在幻想鄉，琪露諾是以笨蛋聞名的冰之妖精。

某一天，琪露諾又在玩速凍青蛙，就是用冰把青蛙瞬間凍起來。但是這只青蛙比以往的要聰明許多，在琪露諾來之前就已經跑到了河的對岸。于是琪露諾決定到河岸去追青蛙。

小河可以看作一列格子依次編號為0到N，琪露諾只能從編號小的格子移動到編號大的格子。而且琪露諾按照一種特殊的方式進行移動，當她在格子i時，她只移動到區間[i+l,i+r]中的任意一格。你問為什么她這么移動，這還不簡單，因為她是笨蛋啊。

每一個格子都有一個冰凍指數A[i]，編號為0的格子冰凍指數為0。當琪露諾停留在那一格時就可以得到那一格的冰凍指數A[i]。琪露諾希望能夠在到達對岸時，獲取最大的冰凍指數，這樣她才能狠狠地教訓那只青蛙。

但是由于她實在是太笨了，所以她決定拜托你幫它決定怎樣前進。

開始時，琪露諾在編號0的格子上，只要她下一步的位置編號大于N就算到達對岸。

【輸入格式：】

第1行：3個正整數N, L, R

第2行：N+1個整數，第i個數表示編號為i-1的格子的冰凍指數A[i-1]

【輸出格式：】

一個整數，表示最大冰凍指數。保證不超過2³¹-1

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[算法分析：]

一道典型的DP題，已知a[i]為點i的冰凍指數，設f[i]為到達點i時獲得的最大冰凍指數

則f[i]的狀態是由f_{[i+l, i+r]}轉移來的

即f[r]的狀態是由f_{[i-r, i-l]}得到的.

可以求得狀態轉移方程：

　　f[i] = max{f[i - j]} + a[i]

　　l?<= j <=?r <=?i

時間復雜度為O(n²)，n?≤ 200000?的范圍顯然是超時了.

考慮如何優化：

顯然對于求max{f[i - j]}的過程是可以優化的，

用優先隊列或者線段樹？O(n log₂ n)確實是一個很優秀的復雜度，但是還有更優的：

單調隊列，時間復雜度為O(n).

每次把一個f[p]值放入deque中，維護序列的單調性（從大到小），

但如果某一次隊頭的元素的坐標已經不足以跳到當前點了，就要把隊首pop出去

所以deque中存放的應是一個結構體或者pair.

那有沒有可能在pop隊尾的時候把之后的最優解pop掉呢？

現在要加入隊列的元素坐標一定比隊尾元素要大，而其值也比需要被pop掉的隊尾元素大，

所以最優解不管怎么pop都會在隊列里。

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[Code:]

1 //P1725 琪露諾 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 #include<queue> 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN = 200000 + 1; 9 10 int n, l, r; 11 int a[MAXN]; 12 int f[MAXN]; 13 struct Node { 14 int v, num; 15 }; 16 17 deque<Node> q; 18 19 inline int read() { 20 int x=0, f=1; char ch=getchar(); 21 while(ch<'0' || ch>'9') { 22 if(ch == '-') f = -1; 23 ch = getchar(); 24 } 25 while(ch>='0' && ch<='9') 26 x=(x<<3)+(x<<1)+ch-48, ch=getchar(); 27 return x * f; 28 } 29 30 int main() { 31 n = read(), l = read(), r = read(); 32 for(int i=0; i<=n; ++i) 33 a[i] = read(); 34 int p = 0; 35 for(int i=l; i<=n; ++i) { 36 // 求max{f[i-r, i-l]} 37 // int maxn = 1 << 31; 38 // int s = i-r<0 ? 0 : i-r; 39 // for(int j=s; j<=i-l; ++j) 40 // maxn = max(maxn, f[j]); 41 while(!q.empty() && q.back().v < f[p]) 42 q.pop_back(); 43 q.push_back((Node){f[p], p}); 44 while(q.front().num + r < i) q.pop_front(); 45 f[i] = q.front().v + a[i]; 46 ++p; 47 } 48 int ans = 1 << 31; 49 for(int i=n-r+1; i<=n; ++i) 50 ans = max(ans, f[i]); 51 printf("%d\n", ans); 52 }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/devilk-sjj/p/9072387.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【洛谷】【动态规划+单调队列】P1725 琪露诺的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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