總的感受：

難...... 數學這種東西真的很考驗一個人,我是典型的被題虐的。所以這里只包括了一些簡單數學知識。

簡單數論：

一、質數

1、單個質數的判定：① 試除法 ② Miller-Rabin

Miller-Rabin的基本思想：隨機+費馬小定理+二次探測定理。

[有興趣的戳這里(在文章中間有提到)]

Miller-Rabin ：

IL int Miller_Rabin(int x) {if (x<2) return 0;if (x==2||x==3||x==5||x==7) return 1;RG int i,j,k=x-1,cnt=0,now;while (!(k&1)) k>>=1,++cnt;//先把所有的2給提出來，然后在一個一個乘上去，這樣比直接做快for (i=1;i<=4;++i) {if (Pow(prm[i],x-1,x)!=1) return 0; //費馬小定理now=Pow(prm[i],k,x);if (now==1||now==x-1) continue;now=now*now%x;for (j=1;j<=cnt;++j,now=now*now%x)if (now==x-1) break;if (j>cnt) return 0;}return 1; }/jike

2、質數的篩法 ：① 歐拉篩 ② 線性篩

線性篩基本思想：確定每個數產生的唯一方式

只給當前數乘上一個質因子，且使得這個質因子是生成的合數的最小質因子,這樣保證了合數質因子從大到小累積

線性篩 ：

RG int n,m,cnt=0,i,j;n=gi(),m=gi();for (i=2;i<=n;++i) {if (!minpr[i]) // 數i的最小質因子pr[i]=1,minpr[i]=i,prime[++cnt]=i;for (j=1;j<=cnt&&prime[j]<=minpr[i]&&prime[j]*i<=n;++j)minpr[i*prime[j]]=prime[j];}

3、質因數分解 ：① 試除法 ② Pollard-Rho-大數質因數分解

Pollard-Rho的講解戳上面那個鏈接。

關于Pollard-Rho的小優化：

① 每次算出一個差x后，不單單只看是否x|N,而是看是否gcd(x,N)>1。

② 在①的基礎上，不需要每次都算gcd，而可以每127(其他數應該也行)個x累乘起來，和N算一次gcd。

　對Miller-Rabin的優化：對于質數選取選擇:2,3,7,61,24251據說可以保證在2的14次方，只有46856248255981判不掉。

　這樣可以篩出N的每一個因子，然后用Miller-Rabin判斷是否為質數即可。

IL int Pollard_rho(int x,int c) {RG int i,j,Las,now=0,res,gcd;for (i=2;;i<<=1) {for (j=1,Las=now,res=1;j<=i;++j) {now=(qm(now,now,x)+c)%x,res=qm(res,abc(now-Las),x);if (!(i%137)) {gcd=getgcd(x,res);if (gcd>1) return gcd;} if (now==Las) return x;}gcd=getgcd(x,res);if (gcd>1) return gcd;} }IL void Find(int x,int c) {if (x<2||x<=ans) return;if (Miller_Rabin(x)) {ans=max(ans,x);return;} RG int p=x;while (p==x) p=Pollard_rho(x,c--);while (x%p==0) x/=p;Find(p,c),Find(x,c); }

題目：

Luogu Pollard-Rho 模板題

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二、約數

1、算術基本定理及其推論：
\[ N=\prod^{cnt}_{i=1}Pi^{ci}算術基本定理的推論（N的正約數和）： \]
算術基本定理的推論（N的正約數和）：
\[ \prod^{cnt}_{i=1}({\sum^{ci}_{j=0}(Pi)^{j}}) \]
2、N的正約數集合的求法：試除法

3、1～N每個數的正約數集合：倍數法

4、最大公約數：歐幾里得算法

5、互質與歐拉函數：

\[ \phi(n)=n*\prod_{質數p|n}{\frac{p-1}{p}} \]
故歐拉函數的計算可在質因數分解的過程中求得。

歐拉函數的性質：

① 對于任意n>1 ,1～n中與n互質的數的和為
\[ n*\phi(n)/2 \]
② 若a,b互質，則有：
\[ \phi(ab)=\phi(a)*\phi(b) \]
　實際上，一個函數f，當a,b互質時，存在
\[ f(ab)=f(a)*f(b) \]
那么f為積性函數。本文不做深究。

題目：

① 反素數 Sol

② 余數之和 Sol

③ Hankson的趣味題 Sol

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三、同余

1、費馬小定理：若P是質數，那么對于任意整數a，有：
\[ a^P\equiv a\mod P \]
2、歐拉定理：若正整數a，n互質，則：
\[ a^{\phi(n)}\equiv1\mod n \]
3、歐拉定理的推論：若正整數a，n互質，則對于任意整數b，有：
\[ a^b\equiv a^{b\mod{\phi(n)}}\mod n \]
４、裴蜀定理：對于任意整數a，b，存在一對整數ｘ，ｙ，滿足：
\[ a*x+b*y=\gcd{(a,b)} \]
　　擴展歐幾里得算法即基于上述定理。

　　推廣：對于更加一般的方程
\[ a*x+b*y=c \]
? 它有解，當且僅當：
\[ \gcd{(a,b)}\mid c \]
5、乘法逆元的求法（記為inv）：

① 費馬小定理(若模數Ｐ為質數)。

② 擴展歐幾里得算法。

③ 線性遞推逆元:
\[ inv[i]=(P-P/i)*inv[P\ mod\ i] \]
6、線性同余方程：CRT & ExCRT

? 有興趣的戳這里

7、高次同余方程：BSGS & ExBSGS

有興趣的戳這里

題目：

① The Luckiest Number Sol

② Sumdiv Sol

③ ExCRT模板

④ BSGS模板

⑤ ExBSGS模板

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線性代數 & 組合數學：

四、矩陣乘法

主要用于加速遞推。

需要特別留心的是關于類似floyd的可行矩陣的遞推，可能會有點抽象。

直接上題吧：

① 石頭游戲 Sol

② 數學作業 Sol

③ 花園 Sol

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五、高斯消元與線性空間

1、Gauss_Jordan消元法（無回帶操作）

IL void Gauss_Jordan() {RG int i,j,k,l;for(i=1;i<=n;++i) {for(j=cnt+1,l=0;j<=n;++j)if(fabs(a[j][i])>eps) {l=j;break;}if(!l) continue;for(j=i,++cnt;j<=n+1;++j) swap(a[cnt][j],a[l][j]);for(j=i+1;j<=n+1;++j) a[cnt][j]/=a[cnt][i];a[cnt][i]=1.0;for(j=1;j<=n;++j) {if(j==cnt) continue;RG DB res=a[j][i]/a[cnt][i];for(k=i;k<=n+1;++k) a[j][k]-=res*a[cnt][k];} }for(i=cnt+1;i<=n;++i)if(fabs(a[i][n+1])>eps) {puts("-1");exit(0);}if(cnt<n) {puts("0");exit(0);} } // 無解輸出-1 無窮解輸出0

2、線性基

? 有興趣的戳這里

題目：

① 球形空間產生器

② 開關問題

③ 線性基模板

④ 裝備購買 Sol

⑤ XOR Sol

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六、組合計數

1、加法原理 & 乘法原理

? 不多說。。

2、排列 & 組合：

? 從n個不同元素中選m個元素排成一列，產生的不同排列數量為：
\[ P^m_n=\frac{n!}{(n-m)!} \]
? 從n個不同元素中選m個元素組成一個集合，產生的不同集合數量為：
\[ C^m_n=\frac{n!}{(n-m)!*m!} \]
3、二項式定理：
\[ (a+b)^y=\sum_{i=0}^ya^i*b^{n-i}*C^i_n \]
4、多重集的排列 & 組合：

? 設多重集S={c1·a1,c2·a2……cN·aN}，S的全排列個數為：
\[ P=\frac{(\sum^N_{i=1}{n_i})!}{\prod^N_{i=1}(n_i)!} \]
? 設多重集S={c1·a1,c2·a2……cN·aN}，則從中選出r個元素組成一個多重集（此處僅考慮r<=ni的情況）的數量為：
\[ C^{N-1}_{N+r-1} \]
? 對于r更加一般的情況，需要用到容斥，此處不作深究。

5、Lucas定理：

? 若P為質數，則對于任意整數1≤m≤n，有：
\[ C^m_n\equiv C^{m\ mod\ P}_{n\ mod\ P}\ (mod\ P) \]

? 實現的話遞歸即可。

? 推廣：Exlucas，可以處理P為任意數的情況。

? 有興趣的戳這里

題目：

① Counting Swaps

② 古代豬文

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轉載于:https://www.cnblogs.com/Bhllx/p/10652038.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学部分简单总结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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