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P1020 导弹拦截（LIS）

發布時間：2024/4/17 编程问答 27 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 P1020 导弹拦截（LIS）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

題目描述

某國為了防御敵國的導彈襲擊，發展出一種導彈攔截系統。但是這種導彈攔截系統有一個缺陷：雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度，但是以后每一發炮彈都不能高于前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的導彈來襲。由于該系統還在試用階段，所以只有一套系統，因此有可能不能攔截所有的導彈。

輸入導彈依次飛來的高度（雷達給出的高度數據是 $\le 50000≤50000的正整數），計算這套系統最多能攔截多少導彈，如果要攔截所有導彈最少要配備多少套這種導彈攔截系統。$

輸入輸出格式

輸入格式：

$\le 100000≤100000）$

輸出格式：

輸入輸出樣例

輸入樣例#1： 復制 389 207 155 300 299 170 158 65 輸出樣例#1： 復制 6 2

題解：

這道題之前的數據是n方的復雜度都可以過，但是在洛谷上面要nlogn的復雜度才可以，這里先講第一種

第一問：

就是用平常的的最長上升子序列的模板

1 for(int i=n; i>=1; --i) 2 { 3 dp[i]=1; 4 for(int j=n; j>i; --j) 5 { 6 if(v[j]<=v[i] && dp[j]+1>dp[i]) 7 dp[i]=dp[j]+1;//printf("%d %d %d %d\n",v[j],v[i],j,i); 8 } 9 maxx=max(maxx,dp[i]); 10 }

但是要注意這個dp中的dp[i]表示從起始位置到i這個位置的數組長度中的最長上升子序列

例如：

1 4 3 6 5 8 ? ?? 這個序列

dp[1]是代表 ? 1? 這個序列的LIS

dp[2]是代表 ? 1 4 這個序列

...............

但是要注意這個dp[i]中的LIS一定包含第i個數（可以說最后一位已經確定）

這就導致了長度為w的序列的LIS不一定放在dp[w]中

格外注意： ? ?? 要在dp[初]------dp[w]中取最大值

第二問（最長上升子序列就行）之后又證明：

這個就可以用貪心算法來解決

假設給出的序列為v[]

先初始化一個空序列dp[] ? 和一個一直記錄它的長度 len

先把v中的第一個元素放到dp中，len初始化為1

從v的第二位開始如果大于dp[len],那我們就必須把它追在再dp數組的后面，因為這個時候按照題意必須新開一個系統

注意：這個dp序列中的值是遞增的，在之后的解釋中會發現，由此便知道dp[len]是他的最大值，如果發射的最大高度小于v中得值，那就必須新開一個系統（解釋上一句）

如果這個值小于dp[len],那就證明我們之前的導彈系統可以攔截到他，那我們就要更新之前的導彈系統的高度

為了弄成一個遞增序列，我們要從dp(頭)------dp(len)來搜索一把，找到第一個，把他的之改成現在這個

為什么弄成遞增序列，因為可以用二分來降低復雜度，而且這只是順帶的操作

而且它既然是遞增序列了，那就證明我們取的第一個比它大的值，不是特別大，這樣也做到了最優

例如：

dp序列中有了 1 ?? 3 ?? 5 ?? 7

我們現在這個v的值是4

那我們按我們最有思想肯定是要更新5而不是7，因為7可以為了防止6的出現而新增一個系統（這個舉例為了說清楚上面那一句話）

操作起來就是兩個判斷

全部代碼：

1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=100005; 7 int v[maxn],dp[maxn],w[maxn]; 8 int main() 9 { 10 int n=1,maxx=0; 11 memset(v,0,sizeof(v)); 12 while(~scanf("%d",&v[n])) ++n; 13 n--; 14 for(int i=n; i>=1; --i) 15 { 16 dp[i]=1; //記得初始化 17 for(int j=n; j>i; --j) //以i分界 18 { 19 if(v[j]<=v[i] && dp[j]+1>dp[i]) 20 dp[i]=dp[j]+1; 21 } 22 maxx=max(maxx,dp[i]); //不要忘了取最大值 23 } 24 int g=0; 25 w[++g]=v[1]; 26 for(int i=1;i<=n;++i) 27 { 28 if(w[g]<v[i]) //題目上面說是大于最大高度就不行了，所以等于的情況就不用特別開一個系統 29 { 30 w[++g]=v[i]; 31 } 32 else 33 { 34 for(int j=1;j<=g;++j) 35 { 36 if(w[j]>=v[i]) 37 { 38 w[j]=v[i]; 39 break; 40 } 41 } 42 } 43 } 44 printf("%d\n%d\n",maxx,g); 45 return 0; 46 } View Code

證明第二問的方法：

參考：https://jjpjj.blog.luogu.org/dp-dao-tan-lan-jie

對于問二求整個數列的最長上升子序列即可。證明如下：

（1）假設打導彈的方法是這樣的：取任意一個導彈，從這個導彈開始將能打的導彈全部打完。而這些導彈全部記為為同一組，再在沒打下來的導彈中任選一個重復上述步驟，直到打完所有導彈。

（2）假設我們得到了最小劃分的K組導彈，從第a(1<=a<=K)組導彈中任取一個導彈，必定可以從a+1組中找到一個導彈的高度比這個導彈高（因為假如找不到，那么它就是比a+1組中任意一個導更高，在打第a組時應該會把a+1組所有導彈一起打下而不是另歸為第a+1組），同樣從a+1組到a+2組也是如此。那么就可以從前往后在每一組導彈中找一個更高的連起來，連成一條上升子序列，其長度即為K;

（3）設最長上升子序列長度為P，則有K<=P;又因為最長上升子序列中任意兩個不在同一組內(否則不滿足單調不升)，則有

P>=K，所以K=P。

第二種方法（nlogn）

二分有一種nlogn的寫法，和上面的第二問解法一樣，但是要注意這種解法解出來的答案是正確的，但是它過程中的dp序列可能不是我們想要的答案

例如：

5 9 4 1 3 7 6 7

那么：

5 //加入
5 9 //加入
4 9 //用4代替了5
1 9 //用1代替4
1 3 //用3代替9
1 3 7 //加入
1 3 6 //用6代替7
1 3 6 7 //加入

最后b中元素的個數就是最長遞增子序列的大小，即4。

要注意的是最后數組里的元素并不就一定是所求的序列，

例如如果輸入 2 5 1

那么最后得到的數組應該是 1 5

而實際上要求的序列是 2 5

那么第二問和上一種方法一樣，就是用了二分

要注意如果是自己寫的二分那沒事，如果你用的系統內部函數要注意

默認是支持遞增序列

lower_bound：取大于等于的值

upper_bound：取大于的值

但是你可以在他后面加一個自己定義的比較方法，來決定lower_bound和upper_bound所取的值

例：

bool cmp(const int& a,const int& b){return a > b;}

lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x, cmp);

或：

lower_bound(a + 1, a + 1 + n, x, greater <int> () ); ?這里的greater<int>()就是c++友情提供的方便的大于函數

注意得到的值指針，減去原數組就是下標

感覺沒什么了，上代碼：

1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn=100005; 7 int v[maxn],dp1[maxn],dp2[maxn]; 8 int main() 9 { 10 int n=0; 11 while(~scanf("%d",&v[++n])); 12 n--; 13 int q=0,w=0; 14 dp1[++q]=dp2[++w]=v[1]; 15 for(int i=2;i<=n;++i) 16 { 17 if(v[i]<=dp1[q]) //這里你也可以把序列反過來用LIS操作注意等于號 18 { 19 dp1[++q]=v[i]; 20 } 21 else 22 { 23 int temp=upper_bound(dp1+1,dp1+1+q,v[i],greater<int>())-dp1; //這里得到的dp[temp]<v[i],不會等于，和原來的意義剛好相反 24 printf("%d %d\n",dp1[temp],v[i]); 25 dp1[temp]=v[i]; 26 } 27 if(v[i]>dp2[w]) //就是求原序列最長上升子序列 28 { 29 dp2[++w]=v[i]; 30 } 31 else 32 { 33 int temp=lower_bound(dp2+1,dp2+1+w,v[i])-dp2; 34 dp2[temp]=v[i]; 35 } 36 } 37 printf("%d\n%d\n",q,w); 38 return 0; 39 } View Code

總結一下：感覺全部都是LIS，就是nlogn那一種方法

如果有錯，本菜雞求dalao指出

轉載于:https://www.cnblogs.com/kongbursi-2292702937/p/11006903.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的P1020 导弹拦截（LIS）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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