讓我們暫時(shí)先放下上節(jié)筆記中循環(huán)群美麗的性質(zhì)，來(lái)專心看看置換群吧。

　　不得不說(shuō)，置換群只是群的表現(xiàn)形式之一，本身不具有特殊的性質(zhì)。但是，由于置換群所含內(nèi)容的廣泛性，它可以和其余所有的群（只能是有限群）形成同構(gòu)關(guān)系（即Cayley定理），因此，我們希望通過(guò)找到在這種類型的群的研究方法，從而使更多的群可以被研究。而這，便是我們研究置換群的目的所在。

　　好吧，讓我們現(xiàn)在開(kāi)始吧。

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一、置換相關(guān)概念及表示

　　在討論置換群之前，我們顯然有必要先明確什么是置換。

1、定義

　　有限集S到自身的一一映射稱為置換，一般用

表示。若 ，我們稱這樣的置換為 次置換。

　　顯然，在

元集合 中，共有 個(gè)置換。

2、表示

　　對(duì)于

元集合 ，為簡(jiǎn)便，我們將其看作 。那么，置換 可以表示為 。注意到，在上述的表示中， 的位置對(duì)于置換本身來(lái)說(shuō)是無(wú)關(guān)緊要的，因此我們也可以將置換 表示為 ，其中 。

　　注意到，置換

的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，那么我們可以將兩個(gè)置換 復(fù)合，記作 ，或 。

3、循環(huán)置換

　　我們稱如下形式的置換為循環(huán)置換（輪換）：

簡(jiǎn)記為 ，并稱其循環(huán)長(zhǎng)度為 。 時(shí)，我們稱之為對(duì)換。

　　單位置換（恒等映射）也視為循環(huán)置換，并記為

或 。

　　如果兩個(gè)循環(huán)置換

滿足 ，那么我們稱這兩個(gè)循環(huán)置換不相交。同時(shí)，我們認(rèn)為單位置換和任何循環(huán)置換不相交。顯然，不相交的兩循環(huán)置換滿足交換律。（但不是所有滿足交換律的置換都不相交）

4、性質(zhì)

(1)任一置換都可以被唯一分解為不相交的循環(huán)置換的乘積。

可以采用歸納法，依次找出這些循環(huán)置換。

(2)任一置換都可以被分解為對(duì)換的乘積。

只需證明任一循環(huán)置換都可以被分解為對(duì)換的乘積。

5、奇置換和偶置換

　　如果一個(gè)置換等于偶數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積，則我們稱之為偶置換。否則我們稱之為奇置換。顯然，偶置換的逆序數(shù)為偶數(shù)，奇置換的逆序數(shù)為奇數(shù)。

二、置換群

1、對(duì)稱群和交錯(cuò)群

　　對(duì)于

元有限集 ，其元素總可以用 抽象表示。因此，我們?cè)谘芯恐脫Q群時(shí)，通常假設(shè) 。 上的所有置換構(gòu)成群，稱為 級(jí)對(duì)稱群，記作 。同時(shí)， 中所有偶置換在映射乘法下同樣組成一個(gè)群，稱為 級(jí)交錯(cuò)群，記為 。

　　顯然，我們有

（我們就不考慮 的離譜情況了）

2、置換群

　　我們稱

的子群為 次置換群。

3、凱萊(Cayley)定理

　　任意

階群必同構(gòu)于一個(gè) 次置換群。證明：
　　設(shè) 為一個(gè) 階群， 為 上所有置換構(gòu)成的 次對(duì)稱群。
　　對(duì) ，定義 為 。則易于驗(yàn)證 是 上的一個(gè)置換。記 ，那么 。
　　下證 ，即證 是一個(gè)群。 ， ， 。所以 對(duì)復(fù)合運(yùn)算封閉。 為一代數(shù)系統(tǒng)。又 ，則 中存在單位元。又 ，故 中存在逆元。于是 是一個(gè)群。
　　最后，我們證明 。
　　構(gòu)造映射 滿足 。則 為滿射。又若 ，則 。于是 為單射，從而 為雙射。又顯然 ，即 保持運(yùn)算。那么 為一同構(gòu)映射，也即 。
　　證畢。

4、最小階數(shù)的非交換群：三次對(duì)稱群

　　三次對(duì)稱群

是階數(shù)最小的非交換群。其元素和運(yùn)算表如下：

三次對(duì)稱群的元素

三次對(duì)稱群的運(yùn)算表

　　我們以后關(guān)于非交換群的例子，很多需要借助

。

　　這一講暫時(shí)先這么多吧。其實(shí)置換群的內(nèi)容還幾乎沒(méi)有發(fā)掘，但最基本的概念已經(jīng)覆蓋完全了。關(guān)于置換群的內(nèi)容，我可能在以后陸續(xù)補(bǔ)充。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的置换怎么表示成轮换_§2.3 置换群的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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