基礎知識：
e^(x·i)=sin x +i·cos x(泰勒展開可證)

法一：
設f(y)=e^(y·pi·i)=sin (y·pi) +i·cos (y·pi)

y=1，e^(1·pi·i)=-1
y=2，e^(2·pi·i)=1

不難發現
當y為奇數時，f(y)=-1
當y為偶數時，f(y)=1

當f(y)=e^(y·pi·i)=-1時
有
e^(1·pi·i)=-1
e^(3·pi·i)=-1
……
e^((2·m-1)·pi·i)=-1
……

對應x^n=-1的解
有
x1= e^((1·pi·i)/n)
x2= e^((3·pi·i)/n)
……
xm= e^(((2·m-1)·pi·i)/n)
……
xn= e^(((2·n-1)·pi·i)/n)
……

因為f(2)=1 ，于是有x(n+1)= x(1)，……，x(n+i) x(i)
所以由f(y)=-1一共得到關于x^n=-1 的n個不同的解
又因為x^n=-1一共有n個解(復數域上的因式分解定理)
所以x^n=-1的解如下
xj= e^(((j·pi·i)/n)=sin ((j/n)·pi)+ i·cos ((j/n)·pi),j={1,3,…,2·n-1}

同理可解得x^n=-1的解如下
xj= e^((j·pi·i)/n)=sin ((j/n)·pi)+ i·cos ((j/n)·pi),j={0,2,…,2·(n-1)}

法二(單位圓)
https://blog.csdn.net/qq_42876636/article/details/88042619

總結

以上是生活随笔為你收集整理的复数域上x^n ±1=0的解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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