概率的公理化定義：非負性、正則性、可列可加性
P(整個樣本空間)=1
整個樣本空間=整個樣本空間+空集+空集+…
由可列可加性可得
推出P(整個樣本空間)= P(整個樣本空間)+ P(空集)+ P(空集)+…
推出P(空集)=0

有限可加性：有限個互不相容的事件A1，A2，…，An,P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1到n
證明：
由可列可加性可知
對于互不相容的事件A1，A2，…，An，A(n+1)(空)，A(n+2)(空)，…
有P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1遞增
又因為P(A(i))=0,i>n
于是有P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1到n
證畢

概率的單調性：若A事件包含B事件，則P(A)>=P(B)
證明：
A包含B=>(A-B)與B的交為空且并為A，P(A-B)>=0
則有P((A-B)+B)=P(A-B)+P(B)=P(A)
P(A-B)=P(A)-P(B)>=0
P(A)>=P(B)

對立：A事件的概率+A對立事件的概率=1（常用于簡化求解）
概率的加法公式：1.3.3

概率的連續性(在連續空間討論)：
概率的連續性依托于概率的上連續且下連續
概率的上下連續依托于單調的事件序列收斂于極限事件

事件域上的極限事件定義(可列與極限的轉換)：
對于一個單調不減的事件序列F1 包含于 F2 包含于 F3 包含于…包含于 Fn包含于…
稱 可列并(U Fi)為序列{Fi}的極限事件，記作 lim Fi= 可列并(U Fi)
對于一個單調不增的事件序列E1 包含 E2 包含 E3 包含…包含 En包含于…
稱 可列交(交 Ei)為序列{Ei}的極限事件，記作 lim Ei= 可列交(交 Ei)
(補充：單調不減且恒小于等于1，必有極限；單調不增且恒大于等于0，必有極限)

事件域上概率的上下連續性定義：
對于一個單調不減的事件序列{Fi}，P(lim Fi)=lim P(Fi)，稱為下連續
對于一個單調不增的事件序列{Ei}，P(lim Ei)=lim P(Ei)，稱為上連續

概率的連續性：若P是事件域上的概率，則P既下連續又上連續
證明：
下連續：P(lim Fn)=lim P(Fn)
條件有非負性，正則性，可列可加性
對于事件域上一個單調不減的事件序列{Fi}
有極限事件lim Fn=U Fn
則有P(lim Fn)=P(U Fn)
有U Fn=U (Fi-F(i-1))，且Fi-F(i-1)不互相容
由可列可加性得
P(lim Fi)=P(U Fn)=lim Sum(P(Fi-F(i-1)))
由有限可加性
Sum(P(Fi-F(i-1)))=Fn
推出P(lim Fi)=P(U Fn)=lim P(Fn)
(補充：可列個(Fi-F(i-1))相加=lim Fn)
上連續同理

P是事件域上的概率函數，其可列可加(連續空間)的充要條件：有限可加，下連續
必要性參考上一個證明
下證充分性：P(Sum Fn)=Sum P(Fn)
設事件域上一個單調不減的事件序列{Fi}
由下連續得P(lim Fn)=lim P(Fn)
由有限可加性得P(Fn)= Sum(P(Fi-F(i-1)))
推出P(lim Fn)=lim Sum(P(Fi-F(i-1)))
P(lim Fn)=P(U Fi-F(i-1))
lim Sum(P(Fi-F(i-1)))=U P(Fi-F(i-1))
推出P(U Fi-F(i-1))= U P(Fi-F(i-1))
(補充重點：可列與極限之間的互相轉換)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论-1.3 概率的性质(重点:可列与极限之间的互相转换)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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