概率论-1.3 概率的性质(重点:可列与极限之间的互相转换)
概率的公理化定義:非負性、正則性、可列可加性
P(整個樣本空間)=1
整個樣本空間=整個樣本空間+空集+空集+…
由可列可加性可得
推出P(整個樣本空間)= P(整個樣本空間)+ P(空集)+ P(空集)+…
推出P(空集)=0
有限可加性:有限個互不相容的事件A1,A2,…,An,P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1到n
證明:
由可列可加性可知
對于互不相容的事件A1,A2,…,An,A(n+1)(空),A(n+2)(空),…
有P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1遞增
又因為P(A(i))=0,i>n
于是有P(Sum(Ai))=Sum(P(Ai)),i從1到n
證畢
概率的單調性:若A事件包含B事件,則P(A)>=P(B)
證明:
A包含B=>(A-B)與B的交為空且并為A,P(A-B)>=0
則有P((A-B)+B)=P(A-B)+P(B)=P(A)
P(A-B)=P(A)-P(B)>=0
P(A)>=P(B)
對立:A事件的概率+A對立事件的概率=1(常用于簡化求解)
概率的加法公式:1.3.3
概率的連續性(在連續空間討論):
概率的連續性依托于概率的上連續且下連續
概率的上下連續依托于單調的事件序列收斂于極限事件
事件域上的極限事件定義(可列與極限的轉換):
對于一個單調不減的事件序列F1 包含于 F2 包含于 F3 包含于…包含于 Fn包含于…
稱 可列并(U Fi)為序列{Fi}的極限事件,記作 lim Fi= 可列并(U Fi)
對于一個單調不增的事件序列E1 包含 E2 包含 E3 包含…包含 En包含于…
稱 可列交(交 Ei)為序列{Ei}的極限事件,記作 lim Ei= 可列交(交 Ei)
(補充:單調不減且恒小于等于1,必有極限;單調不增且恒大于等于0,必有極限)
事件域上概率的上下連續性定義:
對于一個單調不減的事件序列{Fi},P(lim Fi)=lim P(Fi),稱為下連續
對于一個單調不增的事件序列{Ei},P(lim Ei)=lim P(Ei),稱為上連續
概率的連續性:若P是事件域上的概率,則P既下連續又上連續
證明:
下連續:P(lim Fn)=lim P(Fn)
條件有非負性,正則性,可列可加性
對于事件域上一個單調不減的事件序列{Fi}
有極限事件lim Fn=U Fn
則有P(lim Fn)=P(U Fn)
有U Fn=U (Fi-F(i-1)),且Fi-F(i-1)不互相容
由可列可加性得
P(lim Fi)=P(U Fn)=lim Sum(P(Fi-F(i-1)))
由有限可加性
Sum(P(Fi-F(i-1)))=Fn
推出P(lim Fi)=P(U Fn)=lim P(Fn)
(補充:可列個(Fi-F(i-1))相加=lim Fn)
上連續同理
P是事件域上的概率函數,其可列可加(連續空間)的充要條件:有限可加,下連續
必要性參考上一個證明
下證充分性:P(Sum Fn)=Sum P(Fn)
設事件域上一個單調不減的事件序列{Fi}
由下連續得P(lim Fn)=lim P(Fn)
由有限可加性得P(Fn)= Sum(P(Fi-F(i-1)))
推出P(lim Fn)=lim Sum(P(Fi-F(i-1)))
P(lim Fn)=P(U Fi-F(i-1))
lim Sum(P(Fi-F(i-1)))=U P(Fi-F(i-1))
推出P(U Fi-F(i-1))= U P(Fi-F(i-1))
(補充重點:可列與極限之間的互相轉換)
總結
以上是生活随笔為你收集整理的概率论-1.3 概率的性质(重点:可列与极限之间的互相转换)的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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