隨機變量意義：用數字化形式表示隨機現象結果
隨機變量本質：定義在樣本空間上的實值函數X=X(w)，w為空本空間上的樣本點(x不一定是數字型，但隨機變量X一定是數字型)
數字型隨機變量：事件結果為數字
數字型隨機變量：事件結果為非數字(例:對產品是否合格的檢驗)
離散型隨機變量：有限或可列
連續性隨機變量：充滿某一區間或不可數
區別于微積分，概率論中的變量取值隨機且服從某一分布
分布函數：
隨機變量X屬于[負無窮 正無窮]，設x為任一常數，稱F(x)=P(X<=x)為X的分布函數，記作X~F(x)
分布函數基本性質
單調性：對任意x1<x2，都有F(x1)<=F(x2)
有界性：0<=F(x)<=1
右連續性：對任意x0都有，lim(x->x0+0) F(x)=F(x0)
單調性證明
設x1<x2，都有F(x2)-F(x1)=P(x1<X<=x2)，由概率的非負性可知P>=0恒成立
于是有F(x2)-F(x1)=P(x1<X<=x2)>=0，F(x2)-F(x1)
有界性證明
F(x)=P(負無窮<X<=x)，P與F象的集合相等，而0<=P<=1，于是有0<=F(x)<=1
有以上兩條可知，分布函數是在R上單調非減且值域為[0, 1]的函數
右連續證法一
設有x1 >x2>x3>xn>…>x0，F(x1)-F(x0)=P(x0<X<=x1)=P(U x(i+1)<X<=xi)，i為1,2,…,n…
P(U x(i+1)<X<=xi)= U P(x(i+1)<X<=xi)=lim(i->正無窮) (F(xi)-F(x(i+1))（可列轉換極限）
lim(i->正無窮) (F(xi)-F(x(i+1))= lim(i->正無窮) (F(x1)-F(x(i))
lim(i->正無窮) (F(x1)-F(x(i+1))= F(x1)-lim(i->正無窮) F(x(i+1)
lim(i->正無窮) F(x(i+1)= lim(n->正無窮) F(xn)（由假設可得）
綜上
F(x1)-F(x0)= F(x1)-lim(n->正無窮) F(xn)
F(x0)=lim(n->正無窮) F(xn)
右連續證法二
設有x1>x2，則有F(x2)-F(x1)=P(x1<X<=x2)
lim(x2->x1+0) F(x2)-F(x1)= lim(x2->x1+0) P(x1<X<=x2)
上式x2取到的是x1的右極限，而P(x1<X<=x2)的右端取到的也是x1的右極限
于是此時lim(x2->x1+0) P(x1<X<=x2)的區間長度為0
推出lim(x2->x1+0) P(x1<X<=x2)=0
(核心:P左端取的是x1的極限，右端取的也是x1的極限，隨機變量取值區間長度為0，于是有P=0)
離散隨機變量的概率分布：
設X為一個離散隨機變量，X的所有可能取值是x1，x2，…，xn，…，則稱X取xi的概率 pi=p(xi)=P(X=xi)，i=1，2，…，n，…為X的概率分布列，記為X～{pi}

離散隨機變量分布列滿足性質：非負性，正則性，右連續
離散隨機變量分布函數：F(xn)=Sum(P(xi))，i從1到n
單點分布(退化分布)：

連續隨機變量的概率分布(概率密度函數)與其分布函數
設隨機變量X的概率密度函數為f(x)
則X=x1的概率為P(X=x1)=f(x1)*dx
X在x1到x2之間的概率為P(x1<X<X2)=Sum(P(xi))=積分符f(x)dx，x屬于(x1, x2)
F(x2)-F(x1)=P(x1<X<X2)=積分符f(x)dx，x屬于(x1, x2)
x1趨于負無窮時
F(x2)=P(X<X2)=積分符f(x)dx，x屬于(負無窮, x2)
分布函數滿足的基本性質：單調性，正則性，連續性(左右連續)
(補充:分布函數左右連續的證明)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论-2.1 随机变量及其分布(重点:右连续的来源)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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