切比雪夫不等式(證明)：
P(| X-E(X) |<a)>=1-Var(X) / a^2

伯努利大數定律(n重伯努利試驗)：
記Sn為n重伯努利試驗中事件A出現的次數，稱Sn/n為事件A出現的頻率
設p為每次試驗事件A發生的概率則，對任意a>0都有
lim(n->正無窮) P(| Sn/n-p |<a)=1
證明：
Var(Sn/n)= Var(Sn)/n^2=n*p*q/n2=p*q/n
由切比雪夫不等式得
lim(n->正無窮) [P(| Sn/n-p |<a)]>=lim(n->正無窮) [1-Var(Sn/n) / a^2]=1
于是有lim(n->正無窮) P(| Sn/n-p |<a)=1
結論：頻率的穩定于概率

大數定律的一般形式：
隨機變量序列的算術平均數
概率收斂到
其均值的算術平均
設Sn為n個隨機變量(X1,…,Xn)值和
Sn/n=Sum(Xi)/n，p=Sum(E(Xi))/n
若有lim(n->正無窮) P(| Sum(Xi)/n-Sum(E(Xi))/n |<a)=1
則稱隨機變量序列{Xi}服從大數定律

切比雪夫大數定律(方差存在)：
設隨機變量序列{Xi}為一列兩兩不相關的隨機變量序列，且每個Xi方差存在，則{Xi}服從大數定律
證明：lim(n->正無窮) P(| Sum(Xi)/n-Sum(E(Xi))/n |<a)=1
由兩兩不相關可得
Var(Sum(Xi)/n)=Sum(Var(Xi))/n^2 <= nMax{Var(Xi)}/n^2=Max{Var(Xi)}/n
由切比雪夫不等式得
P(| Sum(Xi)/n-E(Sum(Xi)/n) |<a)>=1-Max{Var(Xi)}/(na^2)
lim(n->正無窮) P(| Sum(Xi)/n-Sum(E(Xi))/n |<a)=1
證畢

馬爾可夫條件：
lim(n->正無窮) Var(Sum(Xi))/n^2 -> 0
馬爾代夫大數定律(僅需要馬爾可夫條件)：
設有隨機變量序列{Xi}，若有馬爾可夫條件成立，則{Xi}服從大數定律
證明：lim(n->正無窮) P(| Sum(Xi)/n-Sum(E(Xi))/n |<a)=1

lim(n->正無窮) Var(Sum(Xi))/n^2 -> 0
推出
lim(n->正無窮) Var(Sum(Xi)/n) -> 0

由切比雪夫不等式可得
P(| Sum(Xi)/n-E(Sum(Xi)/n) |<a)>=1-Var(Sum(Xi)/n) / a^2
lim(n->正無窮) P(| Sum(Xi)/n-Sum(E(Xi))/n |<a)=1
證畢

辛欽大數定律(獨立同分布，期望存在)：
設隨機變量序列{Xi}為獨立同分布，若Xi的數學期望存在，則{Xi}服從大數定律
證明：
參考期望的定義可證

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论-4.1 大数定律的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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