堆排序包括兩個(gè)階段，初始化建堆和重建堆。所以堆排序的時(shí)間復(fù)雜度由這兩方面組成，下面分別進(jìn)行分析。先post一個(gè)實(shí)現(xiàn)代碼，便于分析。

#include <stdio.h>void swap(int *a, int *b); void adjustHeap(int param1,int j, int inNums[]); void HeapSort(int nums, int inNums[]); //大根堆進(jìn)行調(diào)整 void adjustHeap(int param1, int j, int inNums[]) {int temp=inNums[param1];for (int k=param1*2+1;k<j;k=k*2+1){//如果右邊值大于左邊值，指向右邊if (k+1<j && inNums[k]< inNums[k+1]){k++;}//如果子節(jié)點(diǎn)大于父節(jié)點(diǎn)，將子節(jié)點(diǎn)值賦給父節(jié)點(diǎn),并以新的子節(jié)點(diǎn)作為父節(jié)點(diǎn)（不用進(jìn)行交換）if (inNums[k]>temp){inNums[param1]=inNums[k];param1=k;}elsebreak;}//put the value in the final positioninNums[param1]=temp; } //堆排序主要算法 void HeapSort(int nums,int inNums[]) {//1.構(gòu)建大頂堆for (int i=nums/2-1;i>=0;i--){//put the value in the final positionadjustHeap(i,nums,inNums);}//2.調(diào)整堆結(jié)構(gòu)+交換堆頂元素與末尾元素for (int j=nums-1;j>0;j--){//堆頂元素和末尾元素進(jìn)行交換int temp=inNums[0];inNums[0]=inNums[j];inNums[j]=temp;adjustHeap(0,j,inNums);//重新對(duì)堆進(jìn)行調(diào)整} } int main() {int data[] = {6,5,8,4,7,9,1,3,2};int len = sizeof(data) / sizeof(int);HeapSort(len,data);return 0; }

一.初始化建堆

　　初始化建堆只需要對(duì)二叉樹的非葉子節(jié)點(diǎn)調(diào)用adjusthead()函數(shù)，由下至上，由右至左選取非葉子節(jié)點(diǎn)來(lái)調(diào)用adjusthead()函數(shù)。那么倒數(shù)第二層的最右邊的非葉子節(jié)點(diǎn)就是最后一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)。
　　假設(shè)高度為k，則從倒數(shù)第二層右邊的節(jié)點(diǎn)開始，這一層的節(jié)點(diǎn)都要執(zhí)行子節(jié)點(diǎn)比較然后交換（如果順序是對(duì)的就不用交換）；倒數(shù)第三層呢，則會(huì)選擇其子節(jié)點(diǎn)進(jìn)行比較和交換，如果沒(méi)交換就可以不用再執(zhí)行下去了。如果交換了，那么又要選擇一支子樹進(jìn)行比較和交換；高層也是這樣逐漸遞歸。
　　那么總的時(shí)間計(jì)算為：s = 2^( i - 1 ) * ( k - i )；其中 i 表示第幾層，2^( i - 1) 表示該層上有多少個(gè)元素，( k - i) 表示子樹上要下調(diào)比較的次數(shù)。
　　S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)2…..+2(k-2)+2^(0)*(k-1) ===> 因?yàn)槿~子層不用交換，所以i從 k-1 開始到 1；
　　S = 2^k -k -1；又因?yàn)閗為完全二叉樹的深度，而log(n) =k，把此式帶入；
　　得到：S = n - log(n) -1，所以時(shí)間復(fù)雜度為：O(n)

二.排序重建堆

　　在取出堆頂點(diǎn)放到對(duì)應(yīng)位置并把原堆的最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)填充到堆頂點(diǎn)之后，需要對(duì)堆進(jìn)行重建，只需要對(duì)堆的頂點(diǎn)調(diào)用adjustheap()函數(shù)。
　　每次重建意味著有一個(gè)節(jié)點(diǎn)出堆，所以需要將堆的容量減一。adjustheap()函數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度k=log(n)，k為堆的層數(shù)。所以在每次重建時(shí)，隨著堆的容量的減小，層數(shù)會(huì)下降，函數(shù)時(shí)間復(fù)雜度會(huì)變化。重建堆一共需要n-1次循環(huán)，每次循環(huán)的比較次數(shù)為log(i)，則相加為：log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)。可以證明log(n!)和nlog(n)是同階函數(shù)：
　　∵(n/2)n/2≤n!≤nn,∵(n/2)n/2≤n!≤nn,
　　∴n/4log(n)=n/2log(n1/2)≤n/2log(n/2)≤log(n!)≤nlog(n)∴n/4log?(n)=n/2log?(n1/2)≤n/2log?(n/2)≤log?(n!)≤nlog?(n)
　　所以時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)

三.總結(jié)

　　初始化建堆的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，排序重建堆的時(shí)間復(fù)雜度為nlog(n)，所以總的時(shí)間復(fù)雜度為O(n+nlogn)=O(nlogn)。另外堆排序的比較次數(shù)和序列的初始狀態(tài)有關(guān)，但只是在序列初始狀態(tài)為堆的情況下比較次數(shù)顯著減少，在序列有序或逆序的情況下比較次數(shù)不會(huì)發(fā)生明顯變化。

與50位技術(shù)專家面對(duì)面20年技術(shù)見證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的堆排序的时间复杂度分析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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