最大匹配

N對人兩兩之間存在關系，求最多的匹配

• 最小點覆蓋＝最大匹配
• 最大獨立集＝頂點數－最大匹配
• 最小路徑覆蓋＝頂點數－最大匹配
  匈牙利算法：時間O($n^3，nm$)，空間O($n^2，n+m$)

int g[maxn][maxn]; // 記錄兩個人的關系 int girl[maxn], used[maxn]; // girl記錄已經確定的關系 // used 記錄每次增廣路上右邊的點 int find (int x) {for (int i = 1; i <= n; ++i) {// 對于X遍歷右邊的點，如果X與i存在關系而且i在本輪還沒有確定關系，那么X和i就有可能匹配，先標記下if (g[x][i] && used[i] == 0) {used[i] = 1;// 如果i沒有被匹配 or i已經被前面的點匹配過了而且之前的人還能找到其他人匹配，X就和i可以正式確定關系if (!girl[i] || find(girl[i])) {girl[i] = x;return true;}}}return false; } for (int i = 1; i <= n; ++i) {mem(used, 0);ans += find(i); }

最佳匹配

最佳匹配是完備匹配，每個人都要被匹配。在完備匹配的基礎上求一種權值最大的匹配

• KM算法：設置兩個頂標（左邊頂點賦值為對應邊的最大權值，右邊賦值為0）先按照最大的權值選邊（匈牙利算法），選邊沖突時計算增廣路上最小的降低費用，更新每個點（增廣路上左邊的點減去費用，右邊的點加上費用）這樣保證增廣路可以繼續找到解而且之前連接的邊也存在，這樣遍歷每個點即可。
• 如果求權值和最小的最佳匹配，存負邊即可。
• 如果不是完全圖，計算的時候可以將沒有給出的邊賦值為**-inf**這樣不會影響答案，統計答案的時候判定一下即可。

int n; int usex[maxn], usey[maxn], topx[maxn], topy[maxn], slack[maxn]; int girl[maxn], g[maxn][maxn]; // usex, usey 用在每次的匈牙利算法記錄增廣路上的點，方便后面調整頂標的權值 // girl 記錄已經確定的關系 // topx, topy記錄左右的頂標 int dfs(int x) {usex[x] = 1; // 增光路左邊的點for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (usey[i]) continue;int tmp = topx[x] + topy[i] - g[x][i]; if (tmp != 0) { // tmp = 0，邊有效slack[i] = min(tmp, slack[i]); // 記錄最小降低值}else {usey[i] = 1; // 增光路右邊的點if (girl[i] == -1 || dfs(girl[i])) {girl[i] = x;return 1;}}}return 0; } int km() {memset(girl, -1, sizeof(girl));memset(topx, 0, sizeof(topx));memset(topy, 0, sizeof(topy));// 更新topx為最大值for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= n; ++j) {topx[i] = max(topx[i], g[i][j]);}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {memset(slack, inf, sizeof(slack));while (1) {memset(usex, 0, sizeof(usex));memset(usey, 0, sizeof(usey));if (dfs(i)) break;int tmp = inf;// 取最小的降低值for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (usey[j]) continue;tmp = min(tmp, slack[j]);}if (tmp == inf) return -1;// 更新左頂標for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (usex[j]) topx[j] -= tmp;}// 更新右頂標for (int j = 1; j <= n; ++j) {if (usey[j]) topy[j] += tmp;else slack[j] -= tmp;}}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (girl[i] != -1) ans += g[girl[i]][i];}return ans; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的二分图匹配问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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