題目鏈接

Problem Description

Farmer John有n頭奶牛.
某天奶牛想要數一數有多少頭奶牛,以一種特殊的方式:
第一頭奶牛為1號,第二頭奶牛為2號,第三頭奶牛之后,假如當前奶牛是第n頭,那么他的編號就是2倍的第n-2頭奶牛的編號加上第n-1頭奶牛的編號再加上自己當前的n的三次方為自己的編號.
現在Farmer John想知道,第n頭奶牛的編號是多少,估計答案會很大,你只要輸出答案對于123456789取模.

Input

第一行輸入一個T,表示有T組樣例
接下來T行,每行有一個正整數n,表示有n頭奶牛 (n>=3)
其中，T=10^4,n<=1018

Output

共T行,每行一個正整數表示所求的答案

Sample Input

5
3
6
9
12
15

Sample Output

31
700
7486
64651
527023

思路

求解過程類似于斐波那契數列，這里的N太大，需要用快速冪的$log(N)$來優化。
首先遞推公式：$F(N)=2?F(N?2)+F(N?1)+N^3$
下面構造矩陣來優化：

$$\begin{array}{rl}{N}^3& =(N?1+1{)}^3\\ & =C_3^0(N?1{)}^3+C_3^1(N?1{)}^2+C_3^2(N?1{)}^1+C_3^3(N?1{)}^0\end{array}$$
$$假設我們已知:{?\begin{array}{r}F(N?2)\\ F(N?1)\\ (N?1{)}^3\\ (N?1{)}^2\\ (N?1{)}^1\\ (N?1{)}^0\end{array}?}_1需要求：{?\begin{array}{r}F(N?1)\\ F(N)\\ N^3\\ N^2\\ N^1\\ N^0\end{array}?}_2$$
這是我們需要一個矩陣

$$?\begin{array}{cccccc}0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 2& 1& C_3^0& C_3^1& C_3^2& C_3^3\\ 0& 0& C_3^0& C_3^1& C_3^2& C_3^3\\ 0& 0& 0& C_2^0& C_2^1& C_2^2\\ 0& 0& 0& 0& C_1^0& C_1^1\\ 0& 0& 0& 0& 0& C_3^3\end{array}?$$
這時狀態$1$就可以通過矩陣得到狀態$2$

$$初始矩陣{?\begin{array}{r}F(1)\\ F(2)\\ 2^3\\ 2^2\\ 2^1\\ 2^0\end{array}?}_3$$

$Ans=matri{x}^{n?2}?matri{x}_3$

#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define P pair<int, int> #include <time.h> #define lowbit(x) (x & -x) #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) #define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; ++i) const int maxn = 1044373; #define mid ((l + r) >> 1) #define lc rt<<1 #define rc rt<<1|1 using namespace std;const LL mod = 123456789;// 定義矩陣 重載* struct ac{LL a[6][6];ac operator * (ac b) {ac t;for (int i = 0; i < 6; ++i) {for (int j = 0; j < 6; ++j) {t.a[i][j] = 0;for (int k = 0; k < 6; ++k) {t.a[i][j] = (t.a[i][j] + (a[i][k] * b.a[k][j] % mod)) % mod;}}}return t;} }g, m; // 矩陣快速冪 ac quick(ac tmp, LL x) {ac t;mem(t.a, 0);for (int i = 0; i < 6; ++i) t.a[i][i] = 1;while (x) {if (x & 1) t = t * tmp;tmp = tmp * tmp;x >>= 1; }return t; }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout); #endifios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);int T;scanf("%d", &T);g.a[0][1] = 1;g.a[1][0] = 2;g.a[1][2] = g.a[1][1] = 1;g.a[1][3] = g.a[1][4] = 3;g.a[1][5] = g.a[2][2] = 1;g.a[2][3] = g.a[2][4] = 3;g.a[2][5] = g.a[3][3] = 1;g.a[3][4] = 2;g.a[3][5] = g.a[4][4] = g.a[4][5] = g.a[5][5] = 1;m.a[0][0] = 1;m.a[1][0] = 2;m.a[2][0] = 8;m.a[3][0] = 4;m.a[4][0] = 2;m.a[5][0] = 1;while (T--) {LL n;scanf("%lld", &n);if (n == 1 || n == 2) {printf("1\n");continue;}ac t = quick(g, n-2);ac ans = t * m; printf("%lld\n", ans.a[1][0]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的HDU-6470 Count (构造矩阵+矩阵快速幂)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。