基礎知識：

十進制轉十六進制；

十六進制轉二進制；

IEEE制定的浮點數表示規則；

了解：

目前C/C++編譯器標準都遵照IEEE制定的浮點數表示法來進行float,double運算。這種結構是一種科學計數法，用符號、指數和尾數來表示，底數定為2——即把一個浮點數表示為尾數乘以2的指數次方再添上符號。下面是具體的規格：
?????????????符號位?????階碼??????尾數?????長度
float???????????1??????????8????????23??????32
double????????? 1?????????11??????? 52????? 64

?

以下通過幾個例子講解浮點數如何轉換為二進制數

例一：

已知：double類型38414.4。

求：其對應的二進制表示。

分析：double類型共計64位，折合8字節。由最高到最低位分別是第63、62、61、……、0位：
????最高位63位是符號位，1表示該數為負，0表示該數為正；
????62-52位，一共11位是指數位；
????51-0位，一共52位是尾數位。

?????步驟：按照IEEE浮點數表示法，下面先把38414.4轉換為十六進制數。
??? ?把整數部和小數部分開處理:整數部直接化十六進制：960E。小數的處理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
?????實際上這永遠算不完！這就是著名的浮點數精度問題。所以直到加上前面的整數部分算夠53位就行了。隱藏位技術：最高位的1不寫入內存（最終保留下來的還是52位）。
????如果你夠耐心，手工算到53位那么因該是：38414.4(10)=1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100(2)

科學記數法為：1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100，右移了15位，所以指數為15。或者可以如下理解：

1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×2^15
?????于是來看階碼，按IEEE標準一共11位，可以表示范圍是-1024?~?1023。因為指數可以為負，為了便于計算，規定都先加上1023(2^10-1)，在這里，階碼：15+1023=1038。二進制表示為：100?00001110；
????符號位：因為38414.4為正對應?為0；
????合在一起（注：尾數二進制最高位的1不要）：
01000000?11100010?11000001?110?01100? 11001100? 11001100? 11001100? 11001100

?

例二：

已知：整數3490593(16進制表示為0x354321)。

求：其對應的浮點數3490593.0的二進制表示。?

解法如下：

先求出整數3490593的二進制表示：

?H:?? ?3???? 5??? 4?? ?3??? 2?? ? 1???（十六進制表示）

?B:?? 0011 ?0101 0100 0011 0010 ?0001?（二進制表示）

????????│←─────??21────→│

?

即：?

???????????????1.101010100001100100001₂×2²¹

可見，從左算起第一個1后有21位，我們將這21為作為浮點數的小數表示，單精度浮點數float由符號位1位，指數域位k=8位，小數域位(尾數)n=23位構成，因此對上面得到的21位小數位我們還需要補上2個0，得到浮點數的小數域表示為：

???????? 1 0101 0100 0011 0010 0001 00

?

float類型的偏置量Bias=2^k-1-1=2^8-1-1=127，但還要補上剛才因為右移作為小數部分的21位，因此偏置量為127+21=148，就是IEEE浮點數表示標準：

????????????????????????? V = (-1)^s×M×2^E

??????????????????? E = e-Bias

中的e，此前計算Bias=127，剛好驗證了E=148-127=21。

?

將148轉為二進制表示為10010100，加上符號位0，最后得到二進制浮點數表示1001010010101010000110010000100，其16進制表示為：

?H:?? ??4?????? ?A????? ?5????????? 5????? ?? 0???????? C??????? ?8?????? ?4??

?B:??0100?? 1010?? 0101? ? 0101 ? 0000?? 1100? 1000?? 0100

??????????????????? |←────??????21????????─────→???|

???? 1|←─8?? ─→||←─────???????23???????─────→ |

?

這就是浮點數3490593.0(0x4A550C84)的二進制表示。

?

例三：

0.5的二進制形式是0.1

它用浮點數的形式寫出來是如下格式

?

0??????????????? 01111110???????????????? 00000000000000000000000

符號位???????????階碼???????????????????????小數位

正數符號位為0，負數符號位為1

階碼是以2為底的指數

小數位表示小數點后面的數字

下面我們來分析一下0.5是如何寫成0 01111110 00000000000000000000000

首先0.5是正數所以符號位為0

再來看階碼部分,0.5的二進制數是0.1,而0.1是1.0*2^(-1),所以我們總結出來:

要把二進制數變成(1.f)*2^(exponent)的形式,其中exponent是指數

而由于階碼有正負之分所以階碼=127+exponent;

即階碼=127+(-1)=126?即?01111110

余下的小數位為二進制小數點后面的數字,即00000000000000000000000

由以上分析得0.5的浮點數存儲形式為0 01111110 00000000000000000000000??

注：如果只有小數部分,那么需要右移小數點.?比如右移3位才能放到第一個1的后面,?階碼就是127-3=124.

例四?? （20.59375）10 =（10100.10011?）₂

首先分別將整數和分數部分轉換成二進制數：?

20.59375＝10100.10011?

然后移動小數點，使其在第1，2位之間?

10100.10011＝1.010010011×2^4???即e＝4?

于是得到：?

S＝0，?E＝4＋127＝131，?M＝010010011?

最后得到32位浮點數的二進制存儲格式為：?

0100 1001 1010 0100 1100 0000 0000 0000＝(41A4C000)16

?

?

例五：
-12.5轉為單精度二進制表示
12.5:?
1.?整數部分12，二進制為1100;?小數部分0.5,?二進制是.1，先把他們連起來，從第一個1數起取24位（后面補0）：?
1100.10000000000000000000?
這部分是有效數字。（把小數點前后兩部分連起來再取掉頭前的1，就是尾數）?
2.?把小數點移到第一個1的后面，需要左移3位（1.10010000000000000000000*2^3）,?加上偏移量127：127+3=130，二進制是10000010，這是階碼。?
3. -12.5是負數，所以符號位是1。把符號位，階碼和尾數連起來。注意，尾數的第一位總是1，所以規定不存這一位的1，只取后23位：?
1 10000010 10010000000000000000000?
把這32位按8位一節整理一下，得：?
11000001 01001000 00000000 00000000?
就是十六進制的?C1480000.?

例六：

2.025675?
1.?整數部分2，二進制為10;?小數部分0.025675,?二進制是.0000011010010010101001，先把他們連起來，從第一個1數起取24位（后面補0）：?
10.0000011010010010101001?
這部分是有效數字。把小數點前后兩部分連起來再取掉頭前的1，就是尾數: 00000011010010010101001?
2.?把小數點移到第一個1的后面，左移了1位,?加上偏移量127：127+1=128，二進制是10000000，這是階碼。?
3. 2.025675是正數，所以符號位是0。把符號位，階碼和尾數連起來：?
0 10000000 00000011010010010101001?
把這32位按8位一節整理一下，得：?
01000000 00000001 10100100 10101001?
就是十六進制的?4001A4A9.??

例七：
(逆向求十進制整數)一個浮點二進制數手工轉換成十進制數的例子：?
假設浮點二進制數是?1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000?
按1，8，23位分成三段：?
1?01111010?10000000000000000000000?
最后一段是尾數。前面加上"1.",?就是?1.10000000000000000000000?
下面確定小數點位置。由E = e-Bias，階碼E是01111010，加上00000101才是01111111（127），?
所以他減去127的偏移量得e=-5。（或者化成十進制得122，122-127=-5）。
因此尾數1.10（后面的0不寫了）是小數點右移5位的結果。要復原它就要左移5位小數點，得0.0000110,?即十進制的0.046875?。
最后是符號：1代表負數，所以最后的結果是?-0.046875?。

注意：其他機器的浮點數表示方法可能與此不同.?不能任意移植。

?

再看一例(類似例七)：

比如：53004d3e

二進制表示為：

01010011000000000100110100111110

按照1個符號??? 8個指數?? ???????23個小數位劃分

0????????????? 10100110???????? 00000000100110100111110

正確的結果轉出來應該是551051722752.0

該怎么算？

好，我們根據IEEE的浮點數表示規則劃分，得到這個浮點數的小數位是：

?00000000100110100111110

那么它的二進制表示就應該是：

1.00000000100110100111110₂?×?2³⁹

這是怎么來的呢？?別急，聽我慢慢道來。
標準化公式中的M要求在規格化的情況下，取值范圍1<M<(2-ε)

正因為如此，我們才需要對原始的整數二進制表示做偏移，偏移多少呢？偏移2^E。
這個“E”怎么算？上面的2³⁹怎么得來的呢？浮點數表示中的8位指數為就是告訴這個的。我們知道：
E = e-Bias
那么根據指數位:

10100110₂=>166₁₀
即e=166，由此算出E=e-Bias=166-127=39，就是說將整數二進制表示轉為標準的浮點數二進制表示的時候需要將小數點左移39位，好，我們現在把它還原得到整數的二進制表示：

1 00000000100110100111110 0000000000000000

1│←─────?23─────→│←?16─→│

23+16=39，后面接著就是小數點了。
拿出計算器，輸入二進制數1000000001001101001111100000000000000000
轉為十進制數，不正是：551051722752么！

通過這例六例七，介紹了將整數二進制表示轉浮點數二進制表示的逆過程，還是希望大家不但能掌握轉化的方法，更要理解轉化的基本原理。

?

聲明：由于博客文本編輯功能沒有word強大，加上時間緊，所以在排版上的不足希望大家見諒。

最后祝大家學習愉快！！！?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的浮点数的二进制表示学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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