一 信息熵

1948年香農(nóng)提出了信息熵（Entropy）的概念。

假如事件A的分類劃分是（A1,A2,...,An），每部分發(fā)生的概率是(p1,p2,...,pn)，那信息熵定義為公式如下：

吳軍在《數(shù)學(xué)之美系列四--怎樣度量信息？》中認(rèn)為信息熵的大小指的的是了解一件事情所需要付出的信息量是多少，這件事的不確定性越大，要搞清它所需要的信息量也就越大，也就是它的信息熵越大。

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Matrix67在《互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的社會(huì)語言學(xué)：基于SNS的文本數(shù)據(jù)挖掘》認(rèn)為信息熵衡量的是在你知道一個(gè)事件的結(jié)果后平均會(huì)給你帶來多大的信息量。如果一顆骰子的六個(gè)面都是 1 ，投擲它不會(huì)給你帶來任何新信息，因?yàn)槟阒浪慕Y(jié)果肯定是1，它的信息熵為 - log(1) = 0 。（log是以2為底，lg是以10為底）

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兩種解釋在不同的應(yīng)用上可以有不同的理解。例如在《文本分類入門（十一）特征選擇方法之信息增益》可以看出在文本分類中對(duì)信息熵的理解是第二種。不過，兩種理解其實(shí)都指出了信息熵的另一個(gè)作用，就是信息熵可以衡量事物的不確定性，這個(gè)事物不確定性越大，信息熵也越大。

為何信息熵會(huì)有這樣的作用？為何它的公式這樣表示？所以還需要理解信息量這一的概念。香農(nóng)用“比特”這個(gè)概念來度量信息量。也即信息量的多少就是比特的多少。

拿吳軍舉的例子來講，32只球隊(duì)共有32種奪冠的可能性，用多少信息量才能包括這32個(gè)結(jié)果？按照計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制（只有1和0）表示法，我們知道2^5=32 ,也就是需要5符號(hào)的組合結(jié)果就可以完全表示這32個(gè)變化，而這里的符號(hào)通常稱之為比特。既然是這樣，那么當(dāng)一件事的結(jié)果越不確定時(shí)，也就是變化情況越多時(shí)，那么你若想涵蓋所有結(jié)果，所需要的比特就要越多，也就是，你要付出的信息量越大，也即信息熵越大。當(dāng)然，每個(gè)變化出現(xiàn)的概率不同，因而在香農(nóng)的公式中才會(huì)用概率，所以信息熵算的是了解這件事所付出的平均信息量。比如這個(gè)例子里假設(shè)32只球隊(duì)奪冠可能性相同，即Pi=1/32 ，那么按照香農(nóng)公式計(jì)算：

entropy(P1,P2,...,P32)=-(1/32)log(1/32)-(1/32)log(1/32)......-(1/32)log(1/32)

????????????????????????????????? =5/32+5/32...+5/32

????????????????????????????????? =(5*32)/32

????????????????????????????????? =5

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二 信息增益（又稱相對(duì)熵[relative entropy]、k-l散度[Kullback–Leibler divergence]、信息散度[information divergence]）

在概率論和信息論中，信息增益是非對(duì)稱的，用以度量?jī)煞N概率分布P和Q的差異。信息增益描述了當(dāng)使用Q進(jìn)行編碼時(shí)，再使用P進(jìn)行編碼的差異。通常P代表樣本或觀察值的分布，也有可能是精確計(jì)算的理論分布。Q代表一種理論，模型，描述或者對(duì)P的近似。

詳細(xì)的應(yīng)用實(shí)例可見這篇文章《信息增益》和《歸納決策樹ID3（Java實(shí)現(xiàn)）》

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信息熵与信息增益的理解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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