動(dòng)態(tài)型試題一般是指以幾何知識(shí)和圖形為背景，滲透運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類試題，常見的運(yùn)動(dòng)對(duì)象有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、圖動(dòng)；其運(yùn)動(dòng)形式有平動(dòng)、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)等．動(dòng)態(tài)型試題其特點(diǎn)是集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性．題目靈活多變，動(dòng)中有靜，動(dòng)靜結(jié)合．能夠在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)展同學(xué)們的空間想象能力，是近幾年中考命題的熱點(diǎn)題型，常考常新，很多題目好似曾相識(shí)燕歸來(lái)，舊瓶新酒，一般是以選擇填空或解答題壓軸題的形式出現(xiàn)．

【例1】．(2018?錦州中考題)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以√2cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線AC→CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B．設(shè)△APQ的面積為y(cm2)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是( )

【分析】作QD⊥AB，分點(diǎn)Q在AC、CB上運(yùn)動(dòng)這兩種情況，由直角三角形的性質(zhì)表示出QD的長(zhǎng)，利用三角形面積公式得出函數(shù)解析式即可判斷．

【解答】(1)過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤x≤3，

由題意知AQ＝x、AP＝√2 x，

∵∠A＝45°，∴QD＝√2/2 AQ＝√2x/2，則y＝1/2 ?√2x?√2/2x＝1/2x2；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3＜x≤6，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

由題意知BQ＝6﹣x、AP＝AB＝3√2，

∵∠B＝45°，∴QD＝√2/2BQ＝√2/2 (6﹣x)，

則y＝1/2×3√2×√2/2(6﹣x)＝﹣3/2x+9；故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意弄清兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線，據(jù)此分類討論并得出函數(shù)解析式．

【例1的變式2】．(2018?河北區(qū)二模)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位；動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿M→D→A遠(yuǎn)動(dòng)，速度也為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位：動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位，到點(diǎn)A后沿AD返回，返回時(shí)速度為每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位，三個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)同時(shí)開始，同時(shí)結(jié)束．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，△EFG的面積為y，下列能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )

【分析】(1)當(dāng)x≤2時(shí)，各點(diǎn)位置與原圖所示，則y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△EFD；(2)當(dāng)x≤2時(shí)，y＝S△EFG直接計(jì)算即可．

【解答】(1)當(dāng)x≤2時(shí)，各點(diǎn)位置與原圖所示，此時(shí)，BE＝x，MF＝x，GD＝2x，

則y＝S△EFG＝S正方形ABCD﹣S梯形ABGE﹣S△EFC﹣S△GFD，

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入整理得：y＝S△EFG＝1.5x2﹣x+4，對(duì)應(yīng)圖象是二次函數(shù)；

(2)當(dāng)x＞2時(shí)，各點(diǎn)位置與下圖所示，

此時(shí)y＝S△EFG＝1/2?GF?AB＝﹣4t+16，對(duì)應(yīng)圖象是直線，故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問題圖象，此類問題主要是分清楚x時(shí)刻點(diǎn)所處的位置，把求解圖象面積用分割組合的方式確定出來(lái)即可求解．

【例1的變式2】．(2018?長(zhǎng)豐縣一模)如圖1，△ABC中，∠A＝30°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2m/s的速度沿折線A→C→B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，△APQ的面積為y(cm2)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是( )

【解答】根據(jù)圖象確定點(diǎn)Q的速度，AB長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)用∠B的正弦值和x表示y將(4，4/3)代入問題可解．

當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y＝1/2AP·AQ·sin∠A=1/2×2x·ax·1/2=1/2 ax2

當(dāng)x＝1，y＝1/2時(shí)，a＝1

由圖象可知，PQ同時(shí)到達(dá)B，則AB＝5，AC+CB＝10

當(dāng)P在BC上時(shí)y＝1/2·x·(10-2x) sin∠B，

當(dāng)x＝4，y＝4/3時(shí)，代入解得sin∠B＝1/3,

∴y＝1/2·x·(10-2x) ·1/3＝﹣1/3x2+5/3x

當(dāng)x＝﹣b/2a=5/2時(shí)，y最大＝25/12,故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題時(shí)動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象探究題，考查了分段表示函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用了銳角三角函數(shù)，解答關(guān)鍵是理解圖象反映出來(lái)的數(shù)學(xué)關(guān)系．

【解題策略】　解答此類問題的策略可以歸納為三步："看""寫" "選"．(1)"看"就是認(rèn)真觀察幾何圖形，徹底弄清楚動(dòng)點(diǎn)從何點(diǎn)開始出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到何點(diǎn)停止，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為不同的幾段，何點(diǎn)(時(shí)刻)是特殊點(diǎn)(時(shí)刻)，這是準(zhǔn)確解答的前提和關(guān)鍵；(2)"寫"就是計(jì)算、寫出動(dòng)點(diǎn)在不同路段的函數(shù)解析式，注意一定要注明自變量的取值范圍，求出在特殊點(diǎn)的函數(shù)數(shù)值和自變量的值；(3)"選"就是根據(jù)解析式選擇準(zhǔn)確的函數(shù)圖象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函數(shù)類形的圖象選項(xiàng)，其次，對(duì)于相同函數(shù)類型的函數(shù)圖象選項(xiàng)，再用自變量的取值范圍或函數(shù)數(shù)值的最大和最小值進(jìn)行排除，選出準(zhǔn)確答案．

【例2】．(2018秋?包河區(qū)校級(jí)月考)已知如圖在邊長(zhǎng)為2√2的正方形OABC中，直線m始終沿著與OB垂直的方向從點(diǎn)O平移到點(diǎn)B停止，速度是1，記直線m在正方形中掃過的區(qū)域面積為y，直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，下列正確的反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是( )

【分析】根據(jù)題意可以求得AC的長(zhǎng)，從而可以求得各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，進(jìn)而得到相應(yīng)的函數(shù)圖象，本題得以解決．

【解答】∵正方形OABC的邊長(zhǎng)為2√2，∴對(duì)角線AC的長(zhǎng)為4，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．

【例2的變式】．(2018?萊蕪中考題)如圖，邊長(zhǎng)為2的正△ABC的邊BC在直線l上，兩條距離為1的平行直線a和b垂直于直線l，a和b同時(shí)向右移動(dòng)(a的起始位置在B點(diǎn))，速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，直到b到達(dá)C點(diǎn)停止，在a和b向右移動(dòng)的過程中，記△ABC夾在a和b之間的部分的面積為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為( )

【分析】依據(jù)a和b同時(shí)向右移動(dòng)，分三種情況討論，求得函數(shù)解析式，進(jìn)而得到當(dāng)0≤t＜1時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一部分，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分．

【解答】如圖①，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，BE＝t，DE＝√3t，

∴s＝S△BDE＝1/2×t×√3t＝√3/2 t2；

如圖②，當(dāng)1≤t＜2時(shí)，CE＝2﹣t，BG＝t﹣1，

∴DE＝√3(2﹣t)，FG＝√3(t﹣1)，

∴s＝S五邊形AFGED＝S△ABC﹣S△BGF﹣S△CDE＝1/2×2×√3﹣1/2×(t﹣1)×√3(t﹣1)﹣1/2×(2﹣t)×√3(2﹣t)＝﹣√3 t2+3√3t﹣3√3/2；

如圖③，當(dāng)2≤t≤3時(shí)，CG＝3﹣t，GF＝√3(3﹣t)，

∴s＝S△CFG＝1/2×(3﹣t)×√3(3﹣t)＝√3/2 t2﹣3√3t+9√3/2，

綜上所述，當(dāng)0≤t＜1時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分；當(dāng)1≤t＜2時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的拋物線的一部分；當(dāng)2≤t≤3時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的拋物線的一部分，故選B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．

【解題策略】　解答此類題先要畫出各個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻的圖形，再由"動(dòng)"變"靜"設(shè)法分別求解．用分類思想畫圖的方法在解動(dòng)態(tài)幾何題中非常有效，它可幫助我們理清思路，突破難點(diǎn)。

例3．(2018秋?石景山區(qū)期末)如圖，等邊三角形和正方形的邊長(zhǎng)均為a，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合．△ABC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BE向右勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為S，則下列圖象中，能表示S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )

【分析】分t≤1/2a、t＞1/2a兩種情況，分別列出S與t的函數(shù)關(guān)系即可求解．

【解答】如圖所示，設(shè)△ABC平移中與DG交于點(diǎn)H，

當(dāng)t≤1/2a時(shí)，S＝S△HCD＝1/2CD?HD＝1/2t?t?tan60°＝√3/2t2，

該函數(shù)為開口向上的拋物線；

當(dāng)t＞1/2a時(shí)，

該函數(shù)為開口向下的拋物線；故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題是運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、解直角三角形、圖形面積等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是深刻理解動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動(dòng)點(diǎn)的完整運(yùn)動(dòng)過程．

【例4】．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想

圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，∠MPN的度數(shù)是______　；

(2)探究證明

把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝8，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的取值范圍．

【分析】(1)利用三角形的中位線得出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，進(jìn)而判斷出BD＝CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同(1)的方法得出PM＝1/2BD，PN＝1/2BD，即可得出PM＝PN，同(1)的方法即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出BD最大時(shí)，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝12，再判斷出BD最小時(shí)，△PMN最小，即可得出結(jié)論．

【解答】(1)∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN＝1/2BD，

∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM＝1/2CE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，

∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，

∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，

故答案為：PM＝PN，PM⊥PN；

(2)△PMN是等腰直角三角形．

由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，

利用三角形的中位線得，PN＝1/2BD，PM＝1/2CE，

∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，

同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，

同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，

∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC

＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC

＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，

∴△PMN是等腰直角三角形；

(3)由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝1/2BD，

∴PM最大時(shí)，△PMN面積最大，PM最小時(shí)，△PMN面積最小

∴點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，△PMN的面積最大，

∴BD＝AB+AD＝12，∴PM＝6，

∴S△PMN最大＝1/2PM2＝1/2×62＝18，

當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，△PMN的面積最小，

∴BD＝AB﹣AD＝4，∴PM＝2，

S△PMN最小＝1/2PM2＝1/2×22＝2，∴2≤S△PMN≤18．

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解(1)的關(guān)鍵是判斷出PM＝1/2CE，PN＝1/2BD，解(2)的關(guān)鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解(3)的關(guān)鍵是點(diǎn)D在線段AB和BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，△PMN的面積最小和最大．

牛刀小試：

1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝√3，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)C以相同速度出發(fā)，點(diǎn)Q沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿路徑B﹣C﹣D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作QH⊥直線BD，垂足為H，連接PH，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )

2．(2018?安徽中考題)如圖，直線l1，l2都與直線l垂直，垂足分別為M，N，MN＝1．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為√2，對(duì)角線AC在直線l上，且點(diǎn)C位于點(diǎn)M處．將正方形ABCD沿l向右平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合為止．記點(diǎn)C平移的距離為x，正方形ABCD的邊位于l1，l2之間部分的長(zhǎng)度和為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、BC的中點(diǎn)．

(1)觀察猜想：如圖1中，△PMN是______ 三角形；

(2)探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE．判斷△PMN的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸：將△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)求出△PMN面積的取值范圍．

【練習(xí)答案及提示】1.B． 提示：本題為動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題，根據(jù)題意找到臨界點(diǎn)，畫出滿足條件的一般圖形是解題關(guān)鍵、

2.A 提示：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝2√2x，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，y＝2√2，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，y＝﹣2√2x+6√2

，由此即可判斷；

3. 9/2≤S△PMN≤49/2

提示：本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，熟練運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

(1)由題意可得BD＝CE，根據(jù)三角形中位線定理，可證MP＝PN，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系可求∠MPN＝90°，即可證△PMN是等腰直角三角形；

(2)由題意可證△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，根據(jù)三角形中位線定理，可證MP＝PN，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系可求∠MPN＝90°，即可證△PMN是等腰直角三角形；

(3)由題意可得S△PMN＝1/2PN2＝1/2×(1/2BD)2＝1/8BD2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，BD最短；當(dāng)點(diǎn)D在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD最長(zhǎng)，即可求△PMN面積的取值范圍．

總之，解答動(dòng)態(tài)型試題策略是：(1)動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性；(2)動(dòng)靜互化，抓住"靜"的瞬間，找出導(dǎo)致圖形或變化規(guī)律發(fā)生改變的特殊時(shí)刻；同時(shí)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中尋找不變性及變化規(guī)律．

總結(jié)

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