本文主要講解AVL的旋轉(zhuǎn)操作，供自己復(fù)習(xí)用，如有不對之處請指出。另外圖片是從鏈接處的大神那復(fù)制的，感覺文章寫的很好，可以去學(xué)習(xí)。

http://www.cnblogs.com/QG-whz/p/5167238.html具體內(nèi)容可以參考鏈接處的講解。

AVL樹定義：一顆空的二叉樹是AVL樹；如果T是一棵非空的二叉樹，TL和TR分別是其左子樹和右子樹，那么當(dāng)T滿足以下條件時(shí)，T是一棵AVL樹：

1.TL和TR是AVL樹；

2.|hl - hr| <= 1,其中hl和hr分別是TL和TR的高。

從定義可以知道，對于一個(gè)AVL樹來說，左右節(jié)點(diǎn)的高度差只能取1， 0， -1三個(gè)值。而只有我們向樹中插入一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者從樹中刪除一個(gè)節(jié)點(diǎn)后，樹的某些節(jié)點(diǎn)的高度差才會(huì)改變。也就是說，在插入和刪除操作后，某些節(jié)點(diǎn)的左右子樹的高度差可能不再是上述三個(gè)值中的任何一個(gè)。此時(shí)就需要改變這些節(jié)點(diǎn)的位置，來讓其滿足AVL樹的定義。

完成一次插入或刪除操作后，根據(jù)子樹結(jié)構(gòu)的不同，可以分成左旋，右旋，先左旋再右旋，先右旋再左旋四中方法來重構(gòu)這個(gè)子樹。本文以插入操作為例。

1.左旋，適用場景：插入操作完成后，插入的節(jié)點(diǎn)是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)。

如圖所示，假設(shè)一段子樹結(jié)構(gòu)中，根節(jié)點(diǎn)為4，右節(jié)點(diǎn)為5。此時(shí)如果我們插入6，根據(jù)二叉樹的定義，會(huì)將6插入在5的右節(jié)點(diǎn)。就像上圖中間那樣。我們稱插入的節(jié)點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)。

但是插入之后，對于根節(jié)點(diǎn)4來說，它的左節(jié)點(diǎn)的高度為0，右節(jié)點(diǎn)的高度為2，高度差不滿足AVL樹的定義，需要調(diào)增這些節(jié)點(diǎn)的位置。調(diào)整的方式就是以中間的節(jié)點(diǎn)為軸，向左方向旋轉(zhuǎn)。即在調(diào)整之后，5是這個(gè)子結(jié)構(gòu)的根節(jié)點(diǎn)，4是5的左節(jié)點(diǎn)，6是5的右節(jié)點(diǎn)。而5原先的左節(jié)點(diǎn)變成如今4的右節(jié)點(diǎn)（圖中沒有展示這個(gè)）

為了實(shí)現(xiàn)左旋操作，我們定義一個(gè)leftRotation函數(shù)，其參數(shù)為子結(jié)構(gòu)的根節(jié)點(diǎn)，返回值為調(diào)整后這個(gè)子結(jié)構(gòu)的根節(jié)點(diǎn)。

好了，接下來我們可以寫出左旋函數(shù)的代碼了

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRotation(AVLTreeNode<T>* pnode) {AVLTreeNode<T>* prnode = pnode->rightChild;pnode->rightChild = prnode->leftChild;prnode->leftChild = pnode;pnode->height = max(height(pnode->leftChild), height(pnode->rightChild)) + 1;prnode->height = max(height(prnode->leftChild), height(prnode->rightChild)) + 1;return prnode; }

代碼中更新了節(jié)點(diǎn)高度，正如剛才提到過的，節(jié)點(diǎn)的位置發(fā)生改變，所以需要改變節(jié)點(diǎn)的高度。但是要注意先更新pnode的高度，再更新prnode的高度，因?yàn)閜node是prnode的子樹。

但是為什么只需要改變節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)5的高度呢？

這里說一下節(jié)點(diǎn)高度的概念：從該節(jié)點(diǎn)開始往下走，直到走到節(jié)點(diǎn)為NULL時(shí)停止，可以有很多條路，一條路上的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為一個(gè)高度，所有的高度中最大的那個(gè)就是該節(jié)點(diǎn)的高度。

因?yàn)槠渌?jié)點(diǎn)的左右子樹都沒有發(fā)生改變，所以高度不會(huì)發(fā)生變化。

用于左旋的插入是：插入的節(jié)點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)。

根節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)的高度減去其左節(jié)點(diǎn)的高度為2，此時(shí)就需要左旋。調(diào)用的代碼就像下面這樣：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &pnode, const T& key) {...if(height(pnode->rightChild) - height(pnode->leftChild) == 2){if(pnode->rightChild->key < key)pnode = leftRotation(pnode)...}... }
因?yàn)閜node是一個(gè)引用，比如是ppnode->leftChild的引用，調(diào)用pnode = leftRotation(pnode)后，pnode改變也就導(dǎo)致ppnode->leftChild的改變。

2.右旋，使用場景：插入操作完成后，插入的節(jié)點(diǎn)是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)。

右旋和左旋是完全相反的兩個(gè)過程。如上圖，子樹的根節(jié)點(diǎn)是4，其左節(jié)點(diǎn)是3，插入的2是4的左節(jié)點(diǎn)3的左節(jié)點(diǎn)。此時(shí)判斷是否需要旋轉(zhuǎn)只要比較4的左節(jié)點(diǎn)的高度減去其右節(jié)點(diǎn)的高度是否為2就可以了。代碼和左旋類似：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightRotation(AVLTreeNode<T>* pnode) {AVLTreeNode<T>* plnode = pnode->leftChild;pnode->leftChild = plnode->rightChild;plnode->rightChild = pnode;pnode->height = max(height(pnode->leftChild), height(pnode->rightChild)) + 1 ;plnode->height = max(height(plnode->leftChild), height(plnode->rightChild)) + 1;return plnode; }同樣也需要更新節(jié)點(diǎn)的高度，但是更新高度應(yīng)該先更新pnode，再更新plnode，因?yàn)榇藭r(shí)plnode才是這個(gè)子樹的根節(jié)點(diǎn)，它的高度需要借助其左右節(jié)點(diǎn)來計(jì)算，會(huì)用到pnode的高度。

使用代碼的情況如左旋一樣：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &pnode, const T& key) {...if(height(pnode->leftChild) - height(pnode->rightChild) == 2){if(pnode->leftChild->key > key)pnode = rightRotation(pnode)...}... }

3.先左旋后右旋，使用場景：插入操作完成后，插入的節(jié)點(diǎn)是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)。

這種情況，應(yīng)該先對以0為根節(jié)點(diǎn)的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行左旋操作，效果如上圖第二行中間，然后再去以2為根節(jié)點(diǎn)的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行右旋操作。

因?yàn)橐呀?jīng)定義了左旋和右旋操作，所以左右旋和右左旋都比較好實(shí)現(xiàn)：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::leftRightRotation(AVLTreeNode<T>* pnode) {pnode->leftChild = leftRotation(pnode->leftChild);return rightRotation(pnode); }調(diào)用的情況和右旋對應(yīng)：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &pnode, const T& key) {...if(height(pnode->leftChild) - height(pnode->rightChild) == 2){if(pnode->leftChild->key > key)pnode = rightRotation(pnode)else if(pnode->leftChild->key < key)pnode = leftRightRotation(pnode);...}... }

4.先右旋后左旋，使用場景：插入操作完成后，插入的節(jié)點(diǎn)是某個(gè)節(jié)點(diǎn)的右節(jié)點(diǎn)的左節(jié)點(diǎn)。

這種情況，應(yīng)該先對以8為根節(jié)點(diǎn)的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行右旋操作，效果如第二行中間的圖所示，再對以6為根節(jié)點(diǎn)的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行左旋操作。

代碼如下：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::rightLeftRotation(AVLTreeNode<T>* pnode) {pnode->rightChild = rightRotation(pnode->rightChild);return leftRotation(pnode); }
調(diào)用的方式和左旋對應(yīng)：

template<class T> AVLTreeNode<T>* AVLTree<T>::insert(AVLTreeNode<T>* &pnode, const T& key) {...if(height(pnode->rightChild) - height(pnode->leftChild) == 2){if(pnode->rightChild->key < key)pnode = rightRotation(pnode)else if(pnode->rightChild->key > key)pnode = rightLeftRotation(pnode);...}... }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构-----AVL树的旋转操作的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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