Find the Duplicate Number

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給定一定大小為n+1的數(shù)組，數(shù)組中的元素只可能是1到n中的數(shù)字，包括1和n。在數(shù)組中，有一個(gè)數(shù)字重復(fù)了多次，找到這個(gè)數(shù)字。
要求不能改變源數(shù)組的值，空間復(fù)雜度為O(1)，時(shí)間復(fù)雜度要小于O(n2)。

注意數(shù)組中每個(gè)元素都只能是1到n之間的數(shù)字，這提供了一個(gè)有用的信息，即

• 對于每個(gè)元素，可以用它的大小和[1: n]之間的數(shù)字比較

什么意思呢，假設(shè)數(shù)組中只有n個(gè)元素，而每個(gè)元素的大小都在[1 : n]之間，且沒有重復(fù)元素。那么對于1到n中的某個(gè)值w而言，整個(gè)數(shù)組中小于等于w的元素個(gè)數(shù)恰好等于w。可以通過先將數(shù)組排序后證明

接著，n個(gè)元素的時(shí)候恰好[1 : n]各一個(gè)，現(xiàn)在，隨機(jī)從[1 : n]中選擇一個(gè)數(shù)字添加到數(shù)組中，使數(shù)組元素個(gè)數(shù)變?yōu)閚+1。此時(shí)，對于某個(gè)值w而言。如果添加的數(shù)字小于等于w，那么小于等于w的元素個(gè)數(shù)將大于w（因?yàn)樘砑忧笆堑扔趙）。反之，如果添加的數(shù)字大于w，那么小于等于w的元素個(gè)數(shù)將小于w。

現(xiàn)在，假設(shè)數(shù)組元素個(gè)數(shù)為n+1，因?yàn)閿?shù)組元素只有n中取值，所以數(shù)組中會(huì)有重復(fù)元素，可能重復(fù)多次。那么此時(shí)對于1到n+1中的某個(gè)值w而言，整個(gè)數(shù)組中小于等于w的元素個(gè)數(shù)就會(huì)有三種可能

• 數(shù)組中小于等于w的元素個(gè)數(shù)恰好等于w。這可以說明在數(shù)組所有元素中，值在[1 : w]這個(gè)范圍內(nèi)的元素沒有重復(fù)，重復(fù)元素在[w + 1 : n]中。

  • 證明，反證法。如果有重復(fù)元素，那么[w + 1 : n]這個(gè)范圍內(nèi)的元素將不會(huì)重復(fù)，那么數(shù)組中元素總個(gè)數(shù)為w + (n - w - 1 + 1) = n。而實(shí)際上數(shù)組元素個(gè)數(shù)為n+1，矛盾。

• 數(shù)組中小于等于w的元素個(gè)數(shù)小于w。這可以說明在數(shù)組所有元素中，值在[1 : w]這個(gè)范圍內(nèi)的元素沒有重復(fù)，重復(fù)元素在[w + 1 : n]中。

  • 證明，反證法。因?yàn)樾∮诘扔趙的元素個(gè)數(shù)小于w，所以大于w的元素個(gè)數(shù)大于n + 1 - w。如果[w + 1 : n]沒有重復(fù)元素，那么大于w的元素個(gè)數(shù)最多為n - w，矛盾。

• 數(shù)組中小于等于w的元素個(gè)數(shù)大于w。這可以說明在數(shù)組的所有元素中，重復(fù)元素在[1 : w]中。

  • 證明，反證法。如果[1 : w]范圍內(nèi)沒有重復(fù)的元素，那么小于等于w的元素個(gè)數(shù)最多為w，不可能大于w，矛盾。

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通過這種劃分，讓上述w取當(dāng)前區(qū)間的中值，就可以采用二分法找到重復(fù)的那個(gè)元素，代碼如下

class Solution { public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {int left = 1;int right = nums.size();while(left < right){/* 取區(qū)間的中值作為w */int middle = left + (right - left) / 2;int count = 0;/* 計(jì)算數(shù)組中所有小于等于w的元素個(gè)數(shù) */for(auto n : nums){if(n <= middle)++count;}/* 如果個(gè)數(shù)小于等于w，說明重復(fù)元素在[w+1 : n]的范圍內(nèi) */if(count <= middle)left = middle + 1;elseright = middle;}return left;} };

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其實(shí)仔細(xì)想一下，時(shí)間復(fù)雜度小于O(n2)的無非O(1)，O(lgn)，O(n)，O(nlgn)幾種，又要求空間復(fù)雜度是O(1)，那么O(n)之前的幾乎都沒戲了，所以只可能是O(nlgn)。又因?yàn)镺(lgn)通常和二分法聯(lián)系在一起，所以很明顯需要使用二分法。又因?yàn)閿?shù)組元素在[1 : n]之間，所以可以用數(shù)組大小和下標(biāo)作比較，即通過比較然后利用二分縮小范圍。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的每天一道LeetCode-----给定大小为n+1的数组，元素大小在[1 : n]之间，只有一个元素会重复出现多次，找到重复的那个的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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