Maximum Subarray

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在給定數組中找到一個子數組（連續），使這個子數組的和最大。

O(n2)的解法是求sum[i] - sum[j]的最大值，形如sum[i]的式子表示數組[0 : i)的和。這種方法需要i和j都從[0:n)遍歷一遍，復雜度比較高。

假設當前找到一個范圍[left, right]，考慮以下兩種情況

• 存在某個[i, left)范圍的和大于0，那么[i, right]的和一定大于[left, right]的和
• 存在某個[j, left)范圍的和小于0，那么[j, right]的和一定小于[left, right]的和

不過，運算過程中不是先找[left, right]再找i，而是先找[i, left)，同時假設[left, right]已存在。也就是說有兩種情況

• 如果當前范圍的和大于0，那么如果這個范圍作為結果范圍的一部分，可知會增加結果的大小。是上述第一種情況，繼續添加后面的元素即可
• 如果當前范圍的和小于0，那么如果這個范圍作為結果范圍的一部分，可知會減小結果的大小。是上述第二中情況，就需要把當前范圍拋棄，從下一位開始重新計算和

當然，在上述遍歷的過程中，需要不斷判斷當前遍歷到的子數組的和，更新最大值。

考慮以下問題

• 找到范圍[i, left)，且范圍和為sum1。此時存在i < j < left使[j, left)范圍的和sum2 > sum1，那么結果會不會是[j, right]而非[i, right]呢？
  
  • 不會，因為在找[i, left)的過程中是時刻保持[i, left)的和大于0的，當然[i, j)范圍的和也會大于0，那么將[i, j)范圍添加到結果范圍中，是會增加結果的值，所以結果范圍仍然是[i, right]
• 找到范圍[i, left)，且范圍和為sum1。此時存在i < j < left使[i, j)范圍的和小于0，那么需不需要將[i, j)范圍去掉
  
  • 不需要，因為根本不存在這樣的j使[i, j)范圍的和小于0，原因如第一個問題

代碼如下

class Solution { public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {if(nums.empty())return 0;/* sum是當前范圍的和，即[i, left)范圍的和 */int sum = 0;/* ans是找到的最大的和 */int ans = nums[0];for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){/* 此時sum是大于等于0的，然后將下一個元素添加進范圍 */sum += nums[i];/* 更新最大值 */ans = std::max(ans, sum);/* 如果當前范圍和(sum)大于0，繼續添加下一個，否則，重置為0 */sum = std::max(sum, 0);}return ans;} };

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由于本題要求是O(n)的復雜度，所以只能進行單層for循環，也就是說只能從下標0開始運算，那么每遍歷到一個位置都必須考慮以下兩個問題

• 是否應該丟棄當前范圍的左邊界
• 是否應該添加當前遍歷到的這個元素

又因為數組元素比較多，每個元素都考慮這兩種情況會使復雜度飆升。

本題的解決思路是

• 如果當前找到的范圍[i, left)的和是大于0的，那么根本不需要丟棄當前范圍的左邊界，直接添加遍歷到的新元素
• 如果當前找到的范圍[i, left)的和是小于0的，那么拋棄已找到的范圍，從遍歷到的新元素開始重新尋找范圍

總結

以上是生活随笔為你收集整理的每天一道LeetCode-----找到给定数组的连续子数组，使这个子数组的和最大，要求复杂度为O(n)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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