最小生成樹(shù)：

生成樹(shù)的定義：給定一個(gè)無(wú)向圖，如果它的某個(gè)子圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)都互相連通并且是一棵樹(shù)，那么這棵樹(shù)就叫做生成樹(shù)。（Spanning Tree）

最小生成樹(shù)的定義：在生成樹(shù)的基礎(chǔ)上，如果邊上有權(quán)值，那么使得邊權(quán)和最小的生成樹(shù)叫做最小生成樹(shù)。（Minimum Spanning Tree ）

解決生成樹(shù)有兩種常用的算法：Kruskal算法和prim算法。

這里我們講的是prim算法求生成樹(shù)的解法。

算法思想：

ans = 0;(表示權(quán)值和)

1.在無(wú)向圖的基礎(chǔ)上，想象我們有一個(gè)點(diǎn)的集合X（初始狀態(tài)為空）。

2.在集合X中加入一個(gè)初始點(diǎn)x，用這個(gè)初始點(diǎn)更新其他點(diǎn)離集合X的距離mincost[ ]，標(biāo)記初始點(diǎn)為使用過(guò)（使用過(guò)：加入集合X）。

3.找一個(gè)未使用過(guò)（集合X外的點(diǎn)）的離集合X最小距離最小的點(diǎn)，找到了這樣一個(gè)點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)加入集合X,ans += 這個(gè)與集合X的距離，

用這個(gè)新加入的點(diǎn)更新其他點(diǎn)離集合X的最小距離mincost[ ]，標(biāo)記新加入的點(diǎn)為使用過(guò)，繼續(xù)執(zhí)行第3步；找不到這樣一個(gè)點(diǎn)，則進(jìn)入第4步。

4.輸出ans。

mincost[i] 表示點(diǎn)i離集合X的最小距離。（離集合X中所有點(diǎn)中最近的點(diǎn)的距離）

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：

想象一下，有10張面額不同的毛爺爺在你面前，每次只能拿1張，只能拿5次，你肯定會(huì)每次都拿這n張（n<=10）中最大的那張，

這樣拿5次，讓總額最大。這個(gè)算法也是同樣的道理，不斷的加入可觸及的最近的點(diǎn)，最后權(quán)值一定是最小的。

額，當(dāng)然10張不同的毛爺爺是不存在的。所以一分都拿不到，還是看代碼吧：

代碼：

#include <bits\stdc++.h> using namespace std; #define INF 2147483647 #define MAX_V 1000 #define MAX_E 2000 int cost[MAX_V][MAX_V]; // cost[i][j] 表示頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j的權(quán)值，不存在時(shí)為INF int mincost[MAX_V]; // mincost[i] 表示i點(diǎn)與集合X的最小距離 bool used[MAX_V]; // used[i]表示點(diǎn)i是否在集合中 int V; //頂點(diǎn)數(shù) //表示從點(diǎn)x產(chǎn)生的最小生成樹(shù)，這么考慮是因?yàn)檎麄€(gè)圖可能不連通 int prim(int x){//最初X集合為空，每個(gè)點(diǎn)到集合X的最小距離都是INF for(int i = 0;i < V; ++i){mincost[i] = INF;used[i] = false;}//將點(diǎn)x與集合X的距離置為0，第一次集合X會(huì)加入點(diǎn)x mincost[x] = 0;int res = 0;while(true){int v = -1;//找到離集合X最近的點(diǎn)，第一次加入點(diǎn)x for(int u = 0;u < V; ++u){if(!used[u] && (v == -1 || mincost[u] < mincost[v])) v = u;}//如果所有點(diǎn)可達(dá)的點(diǎn)都加入集合X中了，就跳出 if(v == -1) break;used[v] = true;res += mincost[v];mincost[v] = 0; //把點(diǎn)v加入到集合X中，這一步幫助理解，可寫可不寫 ，因?yàn)閏ost[v][v] = 0 //用新加入的點(diǎn)v更新其他點(diǎn)離與集合X的最小距離 for(int u = 0;u < V; ++u){mincost[u] = min(mincost[u] , cost[v][u]);}}return res; }int main(){ }

與Dijkstra算法的比較

Prim算法與Dijkstra算法都是從某個(gè)點(diǎn)出發(fā)，不斷加入最近的點(diǎn)。最終都要把所有可以加的點(diǎn)加完。

Prim算法是求最小生成樹(shù)，Dijkstra是求單源最短路徑。

來(lái)個(gè)Dijkstra求單源最短路徑的代碼，與Prim算法比較一下：

#include <bits\stdc++.h> using namespace std; #define INF 2147483647 #define MAX_V 1000 #define MAX_E 2000 //單源最短路徑問(wèn)題（Dijkstra算法） int cost[MAX_V][MAX_V]; //cost[u][v]表示e = (u,v)的權(quán)值 int d[MAX_V]; //頂點(diǎn)s出發(fā)的最短距離 //不同處1 bool used[MAX_V]; //標(biāo)記使用過(guò)的點(diǎn) int V; //頂點(diǎn)數(shù) void dijkstra(int s){fill(d, d+V, INF);fill(used, used + V, INF);d[s] = 0;while(true){int v = -1;//找到一個(gè)距離最近的沒(méi)有使用過(guò)的點(diǎn) for(int u = 0;u < V; u++){if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;}//如果所有的點(diǎn)都被使用過(guò)了，則breakif(v == -1) break;//標(biāo)記當(dāng)前點(diǎn)被使用過(guò)了 used[v] = true;//更新這個(gè)找到的距離最小的點(diǎn)所連的點(diǎn)的距離 for(int u = 0;u < V; u++){d[u] = min(d[u], d[v] + cost[v][u]); //不同處2}} }int main(){ }

我們可以看到代碼基本上是一樣的，只有

不同處1：Djikstra中用d[i]表示i點(diǎn)離源點(diǎn)的最短距離，Prim中用mincost[i] 表示i點(diǎn)與集合X的距離。

不同處2：Djikstra中更新d[u] = min( d[u] , d[v] + cost[v][u] )； 用新加入的點(diǎn)更新其他點(diǎn)與源點(diǎn)的最小距離。

Prim中更新mincost[u] = min( mincost[u] , cost[v][u] ); 用新加入的點(diǎn)更新點(diǎn)i與集合X的最小距離。

我認(rèn)為只用加幾行代碼，無(wú)論是在prim中加，還是在Dijkstra中加，就既可以求單源最短路徑，又可以求最小生成樹(shù)了。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】prim算法（最小生成树）（与Dijkstra算法的比较）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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