最小生成樹：

生成樹的定義：給定一個無向圖，如果它的某個子圖中任意兩個頂點都互相連通并且是一棵樹，那么這棵樹就叫做生成樹。（Spanning Tree）

最小生成樹的定義：在生成樹的基礎上，如果邊上有權值，那么使得邊權和最小的生成樹叫做最小生成樹。（Minimum Spanning Tree ）

解決生成樹有兩種常用的算法：Kruskal算法和prim算法。

這里我們講的是prim算法求生成樹的解法。

算法思想：

ans = 0;(表示權值和)

1.在無向圖的基礎上，想象我們有一個點的集合X（初始狀態為空）。

2.在集合X中加入一個初始點x，用這個初始點更新其他點離集合X的距離mincost[ ]，標記初始點為使用過（使用過：加入集合X）。

3.找一個未使用過（集合X外的點）的離集合X最小距離最小的點，找到了這樣一個點，將這個點加入集合X,ans += 這個與集合X的距離，

用這個新加入的點更新其他點離集合X的最小距離mincost[ ]，標記新加入的點為使用過，繼續執行第3步；找不到這樣一個點，則進入第4步。

4.輸出ans。

mincost[i] 表示點i離集合X的最小距離。（離集合X中所有點中最近的點的距離）

簡單來說就是：

想象一下，有10張面額不同的毛爺爺在你面前，每次只能拿1張，只能拿5次，你肯定會每次都拿這n張（n<=10）中最大的那張，

這樣拿5次，讓總額最大。這個算法也是同樣的道理，不斷的加入可觸及的最近的點，最后權值一定是最小的。

額，當然10張不同的毛爺爺是不存在的。所以一分都拿不到，還是看代碼吧：

代碼：

#include <bits\stdc++.h> using namespace std; #define INF 2147483647 #define MAX_V 1000 #define MAX_E 2000 int cost[MAX_V][MAX_V]; // cost[i][j] 表示頂點i到頂點j的權值，不存在時為INF int mincost[MAX_V]; // mincost[i] 表示i點與集合X的最小距離 bool used[MAX_V]; // used[i]表示點i是否在集合中 int V; //頂點數 //表示從點x產生的最小生成樹，這么考慮是因為整個圖可能不連通 int prim(int x){//最初X集合為空，每個點到集合X的最小距離都是INF for(int i = 0;i < V; ++i){mincost[i] = INF;used[i] = false;}//將點x與集合X的距離置為0，第一次集合X會加入點x mincost[x] = 0;int res = 0;while(true){int v = -1;//找到離集合X最近的點，第一次加入點x for(int u = 0;u < V; ++u){if(!used[u] && (v == -1 || mincost[u] < mincost[v])) v = u;}//如果所有點可達的點都加入集合X中了，就跳出 if(v == -1) break;used[v] = true;res += mincost[v];mincost[v] = 0; //把點v加入到集合X中，這一步幫助理解，可寫可不寫 ，因為cost[v][v] = 0 //用新加入的點v更新其他點離與集合X的最小距離 for(int u = 0;u < V; ++u){mincost[u] = min(mincost[u] , cost[v][u]);}}return res; }int main(){ }

與Dijkstra算法的比較

Prim算法與Dijkstra算法都是從某個點出發，不斷加入最近的點。最終都要把所有可以加的點加完。

Prim算法是求最小生成樹，Dijkstra是求單源最短路徑。

來個Dijkstra求單源最短路徑的代碼，與Prim算法比較一下：

#include <bits\stdc++.h> using namespace std; #define INF 2147483647 #define MAX_V 1000 #define MAX_E 2000 //單源最短路徑問題（Dijkstra算法） int cost[MAX_V][MAX_V]; //cost[u][v]表示e = (u,v)的權值 int d[MAX_V]; //頂點s出發的最短距離 //不同處1 bool used[MAX_V]; //標記使用過的點 int V; //頂點數 void dijkstra(int s){fill(d, d+V, INF);fill(used, used + V, INF);d[s] = 0;while(true){int v = -1;//找到一個距離最近的沒有使用過的點 for(int u = 0;u < V; u++){if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;}//如果所有的點都被使用過了，則breakif(v == -1) break;//標記當前點被使用過了 used[v] = true;//更新這個找到的距離最小的點所連的點的距離 for(int u = 0;u < V; u++){d[u] = min(d[u], d[v] + cost[v][u]); //不同處2}} }int main(){ }

我們可以看到代碼基本上是一樣的，只有

不同處1：Djikstra中用d[i]表示i點離源點的最短距離，Prim中用mincost[i] 表示i點與集合X的距離。

不同處2：Djikstra中更新d[u] = min( d[u] , d[v] + cost[v][u] )； 用新加入的點更新其他點與源點的最小距離。

Prim中更新mincost[u] = min( mincost[u] , cost[v][u] ); 用新加入的點更新點i與集合X的最小距離。

我認為只用加幾行代碼，無論是在prim中加，還是在Dijkstra中加，就既可以求單源最短路徑，又可以求最小生成樹了。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】prim算法（最小生成树）（与Dijkstra算法的比较）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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