探索實驗5 插值法

實驗?zāi)康?/p>

了解插值問題及其適用的場合，理解并掌握常用的插值算法的構(gòu)造和計算，了解差商概念、Runge現(xiàn)象及樣條插值方法，學(xué)習(xí)用計算機(jī)求近似函數(shù)的一些科學(xué)計算方法和簡單的編程技術(shù)。

二、概念與結(jié)論

1. 插值問題與插值函數(shù)：

由實驗或測量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) 在互異點x0 , x1, ... , xn 處的值 y0 , y1 , … , yn ,構(gòu)造一個簡單函數(shù) ((x) 作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達(dá)式

y= f(x) ( ((x)

使 ((x0)=y0 , ((x1)=y1 , (, ((xn)=yn ,(1)

這類問題稱為插值問題。 f(x) 稱為被插值函數(shù)，((x) 稱為插值函數(shù)， x0 , x1, ... , xn 稱為插值節(jié)點。(1)式稱為插值條件。

常用的插值函數(shù)是多項式函數(shù)。且當(dāng)n=1時是稱為線性插值，n=2時稱為Simpson插值或拋物線插值。

2．插值定理：

假設(shè)x0 ,x1,…,xn 是n+1個互異節(jié)點,函數(shù)f(x)在這組節(jié)點的值f(xk)(k=0,1,…,n)是給定的，那么存在唯一的n 次次多項式pn (x)滿足

pn (xk)=f(xk), k=0,1,…,n

3.插值的截斷誤差

設(shè)(n(x)是過點x0 ，x1 ，x2 ，…xn的 n 次插值多項式， f(n+1)(x)在(a，b)上存在，其中[a，b]是包含點x0 ，x1 ，x2 ，…,xn的任一區(qū)間，則對任意給定的x([a，b]，總存在一點(((a，b)(依賴于x)使

其中(n+1(x)=(x –x0) (x - x1)…(x-xn ) ，f(n+1)(() 是f(x)的n+1階微商在 ( 的值。

4. 差商：

給定一個函數(shù)表

x | x0 x1 ….... xn

-------- ---------------------------------------------------------

y | y0 ,y1 ……. yn

其中當(dāng)i (j時 ,xi(xj 記 f[xi]=f(xi) ,定義f(x)關(guān)于xi,xj的一 階差商

一般的, f(x)關(guān)于xi,xi+1,…,xi+k的k 階差商定義為:

5. 分段線性插值：

在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點:

a=x0

且在節(jié)點上的函數(shù)值f(xi )=yi, i=0,1,2,(((,n, 如果函數(shù)((x) 滿足：

( (x)在[a , b]上連續(xù)

( (xi )=yi, i=0,1,2,(((,n

( (x)在每個子區(qū)間[xi , xi+1](i=0,1,2,(((,n-1)上是次數(shù)為1的多項式

則稱( (x)是定義在[a ,b]上的分段線性插值函數(shù)。

6. m次樣條插值函數(shù)：

設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的一個連續(xù)可微函數(shù),在區(qū)間[a,b]上給定一組節(jié)點:

a=x0

且y = f(x)在點 x0，x1，x2, ((( xn的值為y0，y1，y2, (((yn，如果函數(shù)s(x)滿足條件

(1) s(x)在每個子區(qū)間[xi , xi+1](i=0,1,2,(((,n-1)上是次數(shù)不超過m的多項式;

s(x)在區(qū)間[a , b]上有m-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù);

s(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,(((,n

則稱s(x) 為函數(shù)f(x)的在[a ,b]上的m次樣條插值函數(shù)。x0，x1，x2, (((稱為樣條結(jié)點,其中x1,(((,xn-1稱為內(nèi)結(jié)點, x0 , xn 稱為邊界結(jié)點。當(dāng)m=3時,則稱s(x)為函數(shù)f(x)的三次樣條插值函數(shù)。

三、程序中Mathematica語句解釋：

Product [f(i) , {i ，imin，imax，h }]

計算乘積 f(imin)(f(imin +h) (f(imin +2h) (……(f(imin +nh)}

imax – h ( imin + nh ( imax , h>0

2．Simplify[expr] 對expr進(jìn)行化簡

3. Append[list, elem] 在表list的后面加一個元素 elem

4. Prepend[list, elem] 在表list的前面加一個元素 elem

四、方法與程序

插值法是函數(shù)逼近

與50位技術(shù)專家面對面20年技術(shù)見證，附贈技術(shù)全景圖

總結(jié)

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