數值計算_第6章 曲線擬合的最小二乘法.doc

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第 6 章 曲線擬合的最小二乘法6.1 擬合曲線通過觀察或測量得到一組離散數據序列 ，當所得數據比較準確時，可構造插值函數 逼近客觀存在的函數 ，構造的原則是要求插值函數通過這些數據點，即 。此時，序列 與是相等的。如果數據序列 ，含有不可避免的誤差(或稱“噪音”)，如圖 6.1所示；如果數據序列無法同時滿足某特定函數，如圖 6.2 所示，那么，只能要求所做逼近函數 最優地靠近樣點，即向量 與的誤差或距離最小。按 與 之間誤差最小原則作為“最優”標準構造的逼近函數，稱為擬合函數。圖 6.1 含有“ 噪聲”的數據圖 6.2 一條直線公路與多個景點插值和擬合是構造逼近函數的兩種方法。插值的目標是要插值函數盡量靠近離散點；擬合的目標是要離散點盡量靠近擬合函數。向量 與 之間的誤差或距離有各種不同的定義方法。例如：用各點誤差絕對值的和表示：用各點誤差按模的最大值表示：用各點誤差的平方和表示：或 (6.1)其中 稱為均方誤差，由于計算均方誤差的最小值的方法容易實現而被廣泛采用。按均方誤差達到極小構造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。本章主要講述用最小二乘法構造擬合曲線的方法。在運籌學、統計學、逼近論和控制論中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是統計學中估計回歸參數的最基本方法。關于最小二乘法的發明權，在數學史的研究中尚未定論。有材料表明高斯和勒讓德分別獨立地提出這種方法。勒讓德是在 1805 年第一次公開發表關于最小二乘法的論文，這時高斯指出，他早在 1795 年之前就使用了這種方法。但數學史研究者只找到了高斯約在1803 年之前使用了這種方法的證據。在實際問題中，怎樣由測量的數據設計和確定“最貼近”的擬合曲線？關鍵在選擇適當的擬合曲線類型，有時根據專業知識和工作經驗即可確定擬合曲線類型；在對擬合曲線一無所知的情況下，不妨先繪制數據的粗略圖形，或許從中觀測出擬合曲線的類型；更一般地，對數據進行多種曲線類型的擬合，并計算均方誤差，用數學實驗的方法找出在最小二乘法意義下的誤差最小的擬合函數。例如，某風景區要在已有的景點之間修一條規格較高的主干路，景點與主干路之間由各具特色的支路聯接。設景點的坐標為點列 ；設主干路為一條直線，即擬合函數是一條直線。通過計算均方誤差 最小值而確定直線方程(見圖 6.2)。6.2　線性擬合和二次擬合函數線性擬合給定一組數據 ，做擬合直線 ，均方誤差為(6.2)是二元函數， 的極小值要滿足整理得到擬合曲線滿足的方程：　　　　　　　　 (6.3)或 稱式(6.3)為擬合曲線的法方程。用消元法或克萊姆法則解出方程：a==例 6.1 下表為 P. Sale 及 R. Dybdall 在某處作的魚類抽樣調查，表中 為魚的數量，為魚的種類。請用線性函數擬合魚的數量和種類的函數關系。13 15 16 21 22 23 25 29 30 31 3611 10 11 12 12 13 13 12 14 16 1740 42 55 60 62 64 70 72 100 130 　13 14 22 14 21 21 24 17 23 34 　解：設擬合直線 ，并計算得下表：編號x y xy x2121315111014315016922534521∑162122130956111212343441762522644420189132564414841690061640將數據代入法方程組(6.3)中，得到：解方程得： = 8.2084， = 0.1795擬合直線為： = 8.2084 + 0.1795二次擬合函數給定數據序列 ，用二次多項式函數擬合這組數據。設 ，作出擬合函數與數據序列的均方誤差：(6.4)由多元函數的極值原理， 的極小值滿足　　整理得二次多項式函數擬合的法方程

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總結

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