本文章將分享統(tǒng)計(jì)學(xué)中的 概率分布、抽樣分布。

一、概率分布

• 隨機(jī)變量

1.什么是隨機(jī)變量？
將隨機(jī)事件出現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果映射到一個(gè)數(shù)值的含義，通過(guò)數(shù)值量化隨機(jī)事件，這就是隨機(jī)變量的作用。(隨機(jī)變量是量化隨機(jī)事件的一個(gè)函數(shù))2.隨機(jī)變量的分類？
離散隨機(jī)變量：結(jié)果可列舉出個(gè)數(shù)，例如明天是否下雨
連續(xù)隨機(jī)變量：變量里面有無(wú)限的結(jié)果，例如明天的下雨量

• 概率分布

1.什么是概率分布？
隨機(jī)變量所有可能的結(jié)果，及對(duì)應(yīng)結(jié)果發(fā)生的概率，比如下圖是拋硬幣的概率分布：

2.隨機(jī)變量與概率分布的關(guān)系圖

2.1 離散概率分布

2.1.1伯努利分布

伯努利試驗(yàn)是在相互獨(dú)立的條件下隨機(jī)的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果只有兩種：成功/不成功，例如拋硬幣實(shí)驗(yàn)。如果這個(gè)隨機(jī)變量是伯努利實(shí)驗(yàn)，那么它就服從伯努利分布。

1）定義隨機(jī)變量X

2）概率質(zhì)量函數(shù)（PMF）：計(jì)算結(jié)果概率

3）python實(shí)現(xiàn)

先安裝scipy包，安裝步驟：

1)在conda中先進(jìn)入python環(huán)境：activate py3
2)在conda中運(yùn)行以下命令：conda install scipy
如果還沒有安裝numpy包和matplotlib包，也按上述命令安裝這些包

然后使用Bernoulli distribution

#導(dǎo)入包 #數(shù)組包 import numpy as np #繪圖包 import matplotlib.pyplot as plt #統(tǒng)計(jì)計(jì)算包的統(tǒng)計(jì)模塊 from scipy import stats ''' 第1步，定義隨機(jī)變量：1次拋硬幣 成功指正面朝上記錄為1，失敗指反面朝上記錄為0 ''' X = np.arange(0, 2,1) X#第2步，#求對(duì)應(yīng)分布的概率:概率質(zhì)量函數(shù) (PMF) #它返回一個(gè)列表，列表中每個(gè)元素表示隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)值的概率 p = 0.5 # 硬幣朝上的概率 pList = stats.bernoulli.pmf(X, p) pList#第3步，繪圖 ''' plot默認(rèn)繪制折線，這里我們只繪制點(diǎn)，所以傳入下面的參數(shù)： marker：點(diǎn)的形狀，值o表示點(diǎn)為圓圈標(biāo)記（circle marker） linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個(gè)點(diǎn)的折線 ''' plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None') ''' vlines用于繪制豎直線(vertical lines), 參數(shù)說(shuō)明：vline(x坐標(biāo)值, y坐標(biāo)最小值, y坐標(biāo)值最大值) 我們傳入的X是一個(gè)數(shù)組，是給數(shù)組中的每個(gè)x坐標(biāo)值繪制豎直線， 豎直線y坐標(biāo)最小值是0，y坐標(biāo)值最大值是對(duì)應(yīng)pList中的值 官網(wǎng)文檔：https://matplotlib.org/api/pyplot_api.html#matplotlib.pyplot.vlines ''' plt.vlines(X, 0, pList) #x軸文本 plt.xlabel('隨機(jī)變量：拋硬幣1次') #y軸文本 plt.ylabel('概率') #標(biāo)題 plt.title('伯努利分布：p=%.2f' % p) #顯示圖形 plt.show()

2.1.2二項(xiàng)分布
如果我們碰到一個(gè)事情，這個(gè)事情發(fā)生的次數(shù)是固定的，而我們感興趣的是成功的次數(shù)，那么我們就可以用到二項(xiàng)分布。例如，拋硬幣5次，其中2次正面朝上的概率是多少。

如何檢驗(yàn)是二項(xiàng)分布：

做某件事的次數(shù)是固定的，次數(shù)用n表示，n次某件事是相互獨(dú)立的

每一次事件都有兩個(gè)可能的結(jié)果（成功或失敗）

每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p來(lái)表示

想知道成功了k次的概率是多少

1）定義隨機(jī)變量

2）概率質(zhì)量函數(shù)

• n:做某件事情的次數(shù)
• p:做某件事情成功的概率
• k:成功次數(shù)

3）逆向思維：拋硬幣5次，至少有3次正面朝上的概率是多少？可以反過(guò)來(lái)想：就相當(dāng)于最多2次正面朝上p(k<=2)=p(0)+p(1)+p(2)

4）python實(shí)現(xiàn)二項(xiàng)分布（Binomial Distribution）

#第1步，定義隨機(jī)變量：5次拋硬幣，正面朝上的次數(shù) n = 5 # 做某件事情的次數(shù) p = 0.5 # 做某件事情成功的概率 X = np.arange(0, n+1,1) X#第2步，#求對(duì)應(yīng)分布的概率:概率質(zhì)量函數(shù) (PMF) #它返回一個(gè)列表，列表中每個(gè)元素表示隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)值的概率 pList = stats.binom.pmf(X, n, p) pList #第3步，繪圖 ''' plot默認(rèn)繪制折線，這里我們只繪制點(diǎn)，所以傳入下面的參數(shù)： marker：點(diǎn)的形狀，值o表示點(diǎn)為圓圈標(biāo)記（circle marker） linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個(gè)點(diǎn)的折線 ''' plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None') ''' vlines用于繪制豎直線(vertical lines), 參數(shù)說(shuō)明：vline(x坐標(biāo)值, y坐標(biāo)最小值, y坐標(biāo)值最大值) 我們傳入的X是一個(gè)數(shù)組，是給數(shù)組中的每個(gè)x坐標(biāo)值繪制豎直線， 豎直線y坐標(biāo)最小值是0，y坐標(biāo)值最大值是對(duì)應(yīng)pList中的值 ''' plt.vlines(X, 0, pList) #x軸文本 plt.xlabel('隨機(jī)變量：拋硬幣正面朝上次數(shù)') #y軸文本 plt.ylabel('概率') #標(biāo)題 plt.title('二項(xiàng)分布：n=%i,p=%.2f' % (n,p)) #顯示圖形 plt.show()

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2.1.3幾何分布
嘗試一件事多次，想要知道取得第一次成功的概率，例如拋硬幣5次，才第一次正面朝上的概率是多少。

如何檢驗(yàn)幾何分布：

做某件事的次數(shù)是固定的，次數(shù)用n表示，n次某件事是相互獨(dú)立的

每一件事的都有兩個(gè)可能的結(jié)果（成功或者失敗）

每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p來(lái)表示

想知道第k次做某件事，才取得第一次成功的概率是多少（不同點(diǎn)，與二項(xiàng)分布）

1）定義隨機(jī)變量

2）概率質(zhì)量函數(shù)——計(jì)算第k次才成功的概率

p:做某件事情成功的概率

k:第k次做某件事情，才取到第1次成功

3）幾何分布的期望和方差

4）用python實(shí)現(xiàn)幾何分布（Geometric Distribution）

''' 第1步，定義隨機(jī)變量： 首次表白成功的次數(shù)，可能是1次，2次，3次等 ''' #第k次做某件事情，才取到第1次成功 #這里我們想知道5次表白成功的概率 k = 5 # 做某件事情成功的概率，這里假設(shè)每次表白成功概率都是60% p = 0.6 X = np.arange(1, k+1,1) X #第2步，#求對(duì)應(yīng)分布的概率:概率質(zhì)量函數(shù) (PMF) #它返回一個(gè)列表，列表中每個(gè)元素表示隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)值的概率 #分別表示表白第1次才成功的概率，表白第2次才成功的概率，表白第3次才成功的概率，表白第4次才成功的概率，表白第5次才成功的概率 pList = stats.geom.pmf(X,p) pList #第3步，繪圖 ''' plot默認(rèn)繪制折線，這里我們只繪制點(diǎn)，所以傳入下面的參數(shù)： marker：點(diǎn)的形狀，值o表示點(diǎn)為圓圈標(biāo)記（circle marker） linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個(gè)點(diǎn)的折線 ''' plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None') ''' vlines用于繪制豎直線(vertical lines), 參數(shù)說(shuō)明：vline(x坐標(biāo)值, y坐標(biāo)最小值, y坐標(biāo)值最大值) 我們傳入的X是一個(gè)數(shù)組，是給數(shù)組中的每個(gè)x坐標(biāo)值繪制豎直線， 豎直線y坐標(biāo)最小值是0，y坐標(biāo)值最大值是對(duì)應(yīng)pList中的值 ''' plt.vlines(X, 0, pList) #x軸文本 plt.xlabel('隨機(jī)變量：表白第k次才首次成功') #y軸文本 plt.ylabel('概率') #標(biāo)題 plt.title('幾何分布：p=%.2f' % p) #顯示圖形 plt.show()

2.1.4泊松分布
如果你想知道某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)發(fā)生某件事k次的概率是多大，可以用泊松分布。比如一周內(nèi)有多少人能贏得彩票，每分鐘有多少人會(huì)打電話到呼叫中心。
如何驗(yàn)證是泊松分布？

事件是獨(dú)立事件

在任意相同的時(shí)間范圍內(nèi)，事件發(fā)生的概率相同

你想知道某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，發(fā)生某件事k次的概率是多大

1）概率質(zhì)量函數(shù)——計(jì)算某個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，發(fā)生某件事k次的概率
λ：給定時(shí)間范圍內(nèi)某件事情發(fā)生的平均次數(shù)
k：事情發(fā)生的次數(shù)

泊松分布的期望和方差均為λ

2）用python實(shí)現(xiàn)概率分布圖的繪制（Poisson Distribution）

''' 第1步，定義隨機(jī)變量： 已知某路口發(fā)生事故的比率是每天2次， 那么在此處一天內(nèi)發(fā)生k次事故的概率是多少？ ''' mu = 2 # 平均值：每天發(fā)生2次事故 k=4 #次數(shù)，現(xiàn)在想知道每天發(fā)生4次事故的概率 #包含了發(fā)生0次、1次、2次，3次，4次事故 X = np.arange(0, k+1,1) X #第2步，#求對(duì)應(yīng)分布的概率:概率質(zhì)量函數(shù) (PMF) #它返回一個(gè)列表，列表中每個(gè)元素表示隨機(jī)變量中對(duì)應(yīng)值的概率 #分別表示發(fā)生1次，2次，3次，4次事故的概率 pList = stats.poisson.pmf(X,mu) pList #第3步，繪圖 ''' plot默認(rèn)繪制折線，這里我們只繪制點(diǎn)，所以傳入下面的參數(shù)： marker：點(diǎn)的形狀，值o表示點(diǎn)為圓圈標(biāo)記（circle marker） linestyle：線條的形狀，值None表示不顯示連接各個(gè)點(diǎn)的折線 ''' plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None') ''' vlines用于繪制豎直線(vertical lines), 參數(shù)說(shuō)明：vline(x坐標(biāo)值, y坐標(biāo)最小值, y坐標(biāo)值最大值) 我們傳入的X是一個(gè)數(shù)組，是給數(shù)組中的每個(gè)x坐標(biāo)值繪制豎直線， 豎直線y坐標(biāo)最小值是0，y坐標(biāo)值最大值是對(duì)應(yīng)pList中的值 ''' plt.vlines(X, 0, pList) #x軸文本 plt.xlabel('隨機(jī)變量：某路口發(fā)生k次事故') #y軸文本 plt.ylabel('概率') #標(biāo)題 plt.title('泊松分布：平均值mu=%i' % mu) #顯示圖形 plt.show()

2.2連續(xù)概率分布（2種商業(yè)模式：正態(tài)分布、冪律分布）

2.2.1正態(tài)分布（The Normal Distribution）

正態(tài)分布就是大部分屬于中間值，只有du一小部分屬于過(guò)大和過(guò)小的值，它zhi們分布在范圍的兩端。

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到，C.F.高斯在研究測(cè)量誤差時(shí)從另一個(gè)角度導(dǎo)出了它。

正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對(duì)稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。

正態(tài)分布的表示：若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ^2的正態(tài)分布，記為N(μ，σ^2)。

1）正態(tài)分布的功能：

• 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的位置

第一步：確定概率范圍p(k<1.05) --紅色區(qū)域的面積

第二步：求標(biāo)準(zhǔn)分

標(biāo)準(zhǔn)分z =（1.05 - 平均值）/ 標(biāo)準(zhǔn)差

第三步：查找z表格

如果對(duì)于其他符號(hào)得到概率呢？

實(shí)際問(wèn)題：奔馳汽車公司考慮實(shí)施一項(xiàng)質(zhì)量保證：如果輪胎的行駛里程沒有達(dá)到質(zhì)量保證規(guī)定的里程，那么將以折扣價(jià)提供更換輪胎的服務(wù)，但是考慮到更換的成本，希望達(dá)到折扣質(zhì)量保證條件的輪胎數(shù)不要超過(guò)總數(shù)的10%，那么應(yīng)該設(shè)定的質(zhì)保里程為多少公里呢？

標(biāo)準(zhǔn)分z=(k-平均值)/標(biāo)準(zhǔn)差=-1.28

2.2.2冪律分布（power-law distribution）

現(xiàn)實(shí)社會(huì)財(cái)富分配（冪律分布）

2.2.3正態(tài)分布VS.冪律分布

“邊際成本”越高的行業(yè)，越是分散市場(chǎng)，符合正態(tài)分布：賺大錢的人少，虧大錢的也少，大部分人都趨向賺取平均利潤(rùn)。例如上班打工。

冪律分布：馬太效應(yīng)、二八原則、網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)，例如：開付費(fèi)專欄，微博網(wǎng)紅。

二、抽樣分布

日常生活中我們經(jīng)常會(huì)看到一些缺乏統(tǒng)計(jì)概率常識(shí)，僅為嘩眾取寵博人眼球的問(wèn)題，比如：

• 為什么高考狀元，最后都很平庸？
• 為什么學(xué)區(qū)房那么值錢，但學(xué)歷不值錢？
• 為什么一個(gè)清華畢業(yè)的，收入還干不過(guò)咪蒙？

以上問(wèn)題均有以偏概全的問(wèn)題，通過(guò)特殊的個(gè)例來(lái)推斷整體的結(jié)論，缺乏可靠性。

如何避免以上類似的偏見，需要先了解一下統(tǒng)計(jì)學(xué)中總體與樣本的概念？

1.什么是總體？

總體是你研究對(duì)象的整個(gè)群體。

2.什么是樣本？

樣本是從總體中選取的一部分，用于代表總體。

以“為什么一個(gè)清華畢業(yè)的，收入還干不過(guò)咪蒙？”這個(gè)問(wèn)題為例，它比較的是畢業(yè)于清華大學(xué)的所有人平均收入和畢業(yè)于普通大學(xué)的所有人的平均收入，而咪蒙作為畢業(yè)于普通大學(xué)的所有人樣本是特殊樣本，并非隨機(jī)樣本，無(wú)法代表總體。

2.1什么是樣本數(shù)量？

樣本數(shù)量是你有多少個(gè)樣本。

2.2什么是樣本大小（樣本容量）？

樣本大小是每個(gè)樣本里面有多少個(gè)數(shù)據(jù)。
將樣本平均值的分布可視化叫做抽樣分布。

3.如何用python實(shí)現(xiàn)隨機(jī)樣本？

range() 函數(shù)可創(chuàng)建一個(gè)整數(shù)列表，一般用在 for 循環(huán)中。

使用語(yǔ)法：range(start, stop[, step])

參數(shù)說(shuō)明：

• start: 計(jì)數(shù)從 start 開始。默認(rèn)是從 0 開始。例如range（5）等價(jià)于range（0， 5）
• start: 計(jì)數(shù)從 start 開始，但不包括 stop。例如：range（0， 5） 是[0, 1, 2, 3, 4]沒有5
• step：步長(zhǎng)，默認(rèn)為1。例如：range（0， 5） 等價(jià)于 range(0, 5, 1)

案例1：抽獎(jiǎng)

''' 抽獎(jiǎng)：生成多個(gè)隨機(jī)數(shù) 應(yīng)用案例：從395個(gè)用戶中隨機(jī)抽取10個(gè)人作為中獎(jiǎng)?wù)?''' # 導(dǎo)入 random(隨機(jī)數(shù)) 模塊 import randomfor i in range(10):userId=random.randint(0,395)#用%s格式化字符串print('第 %s 位獲獎(jiǎng)用戶id是 %s' % (i,userId) )

案例2:pandas數(shù)據(jù)框（DataFrame）的抽樣方法

#導(dǎo)入包 import numpy as np #數(shù)組包 import pandas as pd #數(shù)據(jù)分析包 ''' #arange產(chǎn)生一個(gè)含有5*4個(gè)元素的一維數(shù)組 reshape：將數(shù)組轉(zhuǎn)換成5行4列的二維數(shù)組 ''' df = pd.DataFrame(np.arange(5 * 4).reshape((5, 4))) df

#隨機(jī)選擇一個(gè)n行的子集 sample1=df.sample(n=3) sample1

4.什么是中心極限定理？

樣本平均值約等于總體平均值。

不管總體上什么分布，任意一個(gè)總體的樣本平均值都會(huì)圍繞在總體的平均值周圍，并且呈正態(tài)分布。

5.如何用樣本估計(jì)總體？

樣本平均值約等于總體平均值

6.如何在生活、工作、投資中避免偏見？有如下四種偏見的產(chǎn)生：

樣本偏差：以偏概全，用樣本推斷總體，樣本大小一定要足夠大才可以。

幸存者偏差：通常關(guān)注顯而易見的樣本，而忽略了不容易出現(xiàn)的樣本。也就是忽略了樣本被篩選過(guò)了。所以在思考問(wèn)題時(shí)一定要從多個(gè)角度去看。

概率偏見：主觀概率和客觀概率不吻合。

信息繭房：人們的信息領(lǐng)域會(huì)習(xí)慣性地被自己的興趣所引導(dǎo)，從而將自己的生活桎梏于像蠶繭一般的“繭房”中的現(xiàn)象。也就是說(shuō)，隨著個(gè)性化推薦的發(fā)展，我們看見的信息僅是自己感興趣事情的時(shí)候，這樣就造成了我們的信息繭房。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的python列表求平均值_python与统计概率思维的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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