今天要講的是關(guān)于矩陣秩的重要結(jié)論。關(guān)于矩陣的秩，講三點(diǎn)，前兩點(diǎn)是比較重要的，專(zhuān)門(mén)提出來(lái)強(qiáng)調(diào)一下，第三點(diǎn)是書(shū)上沒(méi)有的一個(gè)重要的結(jié)論：

1、，也就是一個(gè)矩陣與另一個(gè)矩陣相乘后，新矩陣的秩一定不大于原矩陣。怎么證明呢，結(jié)合線性結(jié)合線性方程組的有解性來(lái)進(jìn)行證明的，AB=C，已經(jīng)說(shuō)明了AX=C是有解的，而線性方程組的有解性與矩陣的秩的關(guān)系說(shuō)明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再將此矩陣兩邊轉(zhuǎn)置，再根據(jù)線性方程組的解與矩陣的秩間關(guān)系同理可得A的秩大于等于C的秩.當(dāng)我們學(xué)習(xí)了與線性表示有關(guān)的系統(tǒng)性理論后對(duì)這個(gè)定理會(huì)有更直觀的理解。

2、矩陣左乘列滿秩矩陣后新矩陣的秩與原矩陣的秩一樣，此結(jié)論希望引起大家重視，此結(jié)論就是同濟(jì)大學(xué)第五版70頁(yè)的例9，大家可以參照此過(guò)程。

3、給出一個(gè)關(guān)于矩陣的秩的一般性的結(jié)論，

大家記住了的話對(duì)做題有很大的幫助，證明過(guò)程復(fù)雜，不要求掌握。

今天看一道考研的選擇題：

上述是脫離了方程組單獨(dú)講的矩陣的秩的結(jié)論，而當(dāng)秩與方程組結(jié)合時(shí)也有重要結(jié)論，對(duì)于方程組Ax=b

1、如果A是行滿秩的矩陣，那么方程組要么有唯一解，要么有無(wú)窮多解。

如果A是行滿秩的矩陣，因?yàn)榫仃嚨牧兄鹊扔诰仃嚨男兄龋跃仃嚨牧兄鹊扔诰仃嚨男袛?shù)，所以矩陣的列向量的線性組合一定能得到所有該維數(shù)的列向量。怎么理解呢？比如A是2x4的矩陣，A的秩為2，那么組成A的四個(gè)列向量的秩為2，這四個(gè)列向量都是2維的，那這四個(gè)列向量是不是能線性組合成任意的二維列向量，所以一定有解。

A的形式要么是矮且胖要么是方陣（矩陣的列不可能小于矩陣的行數(shù)），如果矩陣A矮且胖的話，那么對(duì)線性方程組的約束的個(gè)數(shù)（矩陣的行數(shù)）小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，那就是無(wú)窮多解。矩陣A是方陣，根據(jù)克拉默法則我們也能得出是唯一解。

上面是我們根據(jù)我們對(duì)線性代數(shù)的直觀理解做出的推導(dǎo)，那么這個(gè)結(jié)論怎么證明呢？

2、如果A是列滿秩的話，那么方程組要么有唯一解，要么無(wú)解。

兩個(gè)結(jié)論看起來(lái)類(lèi)似，但直觀理解的角度不太一樣。A要么是方陣，要么是瘦高型，A是方陣時(shí)根據(jù)克拉默法則也可知有唯一解，A是瘦高型的話，A的線性組合如果能構(gòu)成b就是唯一解，不能構(gòu)成b就無(wú)解了。（因?yàn)锳中各列線性無(wú)關(guān)，最后x不可能有無(wú)窮多解）

還有一個(gè)角度，b是A中各列線性組合，b的這一列加到A后如果矩陣的秩加了1，說(shuō)明無(wú)解，如果矩陣的秩不變，說(shuō)明有唯一解。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于矩阵的秩的重要结论的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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