題目要求

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描述

一個數的序列bi，當b1 < b2 < … < bS的時候，我們稱這個序列是上升的。
對于給定的一個序列(a1, a2, …, aN)，我們可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，這里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，對于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。
這些子序列中最長的長度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。
你的任務，就是對于給定的序列，求出最長上升子序列的長度。

輸入

輸入的第一行是序列的長度N (1 <= N <= 1000)。
第二行給出序列中的N個整數，這些整數的取值范圍都在0到10000。

輸出

最長上升子序列的長度。

樣例輸入

7
1 7 3 5 9 4 8

樣例輸出

4

來源

翻譯自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比賽試題

解題思路

1.找子問題
“求序列的前n個元素的最長上升子序列的長度”是個子問題，但是這樣分解子問題，不具有“無后效性”：假設F（n）=x，但可能有多個序列滿足F（n）=x。有的序列的最后一個元素比a_n+1小，則加上a_n+1就能形成更長上升子序列；有的序列最后一個元素不比a_n+1小……以后的事情受如何達到狀態n的影響，不符合“無后效性”。

“求以ak（k=1, 2, 3…N）為終點的最長上升子序列的長度”一個上升子序列中最右邊的那個數，稱為該子序列的“終點”。雖然這個子問題和原問題形式上并不完全一樣，但是只要這N個子問題都解決了，那么這N個子問題的解中，最大的那個就是整個問題的。

2.確定狀態
子問題只和一個變量-- 數字的位置相關。因此序列中數的位置k 就是“狀態”，而狀態 k 對應的“值”，就是以a_k做為“終點”的最長上升子序列的長度狀態一共有N。

3.找出狀態轉移方程
maxLen (k)表示以ak做為“終點”的最長上升子序列的長度那么：
初始狀態：maxLen (1) = 1 。
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到這樣的i,則maxLen(k) = 1。
maxLen(k)的值，就是在a_k左邊，“終點”數值小于a_k ，且長度最大的那個上升子序列的長度再加1。因為a_k左邊任何“終點”小于a_k的子序列，加上a_k后就能形成一個更長的上升子序。

代碼

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN =1010; int a[MAXN]; int maxLen[MAXN]; int main() {int N; cin >> N;for( int i = 1;i <= N;++i){cin >> a[i]; maxLen[i] = 1;}for( int i = 2; i <= N; ++i){//每次求以第i個數為終點的最長上升子序列的長度for( int j = 1; j < i; ++j)//察看以第j個數為終點的最長上升子序列if( a[i] > a[j] )maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1);}cout << * max_element(maxLen+1,maxLen + N + 1 );return 0; } //時間復雜度O(N^2)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的百练2757:最长上升子序列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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