題目要求

總時(shí)間限制: 2000ms 內(nèi)存限制: 65536kB

描述

一個(gè)數(shù)的序列bi，當(dāng)b1 < b2 < … < bS的時(shí)候，我們稱這個(gè)序列是上升的。
對(duì)于給定的一個(gè)序列(a1, a2, …, aN)，我們可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，這里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，對(duì)于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。
這些子序列中最長(zhǎng)的長(zhǎng)度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8)。
你的任務(wù)，就是對(duì)于給定的序列，求出最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。

輸入

輸入的第一行是序列的長(zhǎng)度N (1 <= N <= 1000)。
第二行給出序列中的N個(gè)整數(shù)，這些整數(shù)的取值范圍都在0到10000。

輸出

最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度。

樣例輸入

7
1 7 3 5 9 4 8

樣例輸出

4

來(lái)源

翻譯自 Northeastern Europe 2002, Far-Eastern Subregion 的比賽試題

解題思路

1.找子問(wèn)題
“求序列的前n個(gè)元素的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度”是個(gè)子問(wèn)題，但是這樣分解子問(wèn)題，不具有“無(wú)后效性”：假設(shè)F（n）=x，但可能有多個(gè)序列滿足F（n）=x。有的序列的最后一個(gè)元素比a_n+1小，則加上a_n+1就能形成更長(zhǎng)上升子序列；有的序列最后一個(gè)元素不比a_n+1小……以后的事情受如何達(dá)到狀態(tài)n的影響，不符合“無(wú)后效性”。

“求以ak（k=1, 2, 3…N）為終點(diǎn)的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度”一個(gè)上升子序列中最右邊的那個(gè)數(shù)，稱為該子序列的“終點(diǎn)”。雖然這個(gè)子問(wèn)題和原問(wèn)題形式上并不完全一樣，但是只要這N個(gè)子問(wèn)題都解決了，那么這N個(gè)子問(wèn)題的解中，最大的那個(gè)就是整個(gè)問(wèn)題的。

2.確定狀態(tài)
子問(wèn)題只和一個(gè)變量-- 數(shù)字的位置相關(guān)。因此序列中數(shù)的位置k 就是“狀態(tài)”，而狀態(tài) k 對(duì)應(yīng)的“值”，就是以a_k做為“終點(diǎn)”的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度狀態(tài)一共有N。

3.找出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
maxLen (k)表示以ak做為“終點(diǎn)”的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度那么：
初始狀態(tài)：maxLen (1) = 1 。
maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到這樣的i,則maxLen(k) = 1。
maxLen(k)的值，就是在a_k左邊，“終點(diǎn)”數(shù)值小于a_k ，且長(zhǎng)度最大的那個(gè)上升子序列的長(zhǎng)度再加1。因?yàn)閍_k左邊任何“終點(diǎn)”小于a_k的子序列，加上a_k后就能形成一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序。

代碼

#include <iostream> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN =1010; int a[MAXN]; int maxLen[MAXN]; int main() {int N; cin >> N;for( int i = 1;i <= N;++i){cin >> a[i]; maxLen[i] = 1;}for( int i = 2; i <= N; ++i){//每次求以第i個(gè)數(shù)為終點(diǎn)的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度for( int j = 1; j < i; ++j)//察看以第j個(gè)數(shù)為終點(diǎn)的最長(zhǎng)上升子序列if( a[i] > a[j] )maxLen[i] = max(maxLen[i],maxLen[j]+1);}cout << * max_element(maxLen+1,maxLen + N + 1 );return 0; } //時(shí)間復(fù)雜度O(N^2)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的百练2757:最长上升子序列的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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