Nim游戲的數(shù)學(xué)理論論述

Nim游戲是博弈論中最經(jīng)典的模型，是組合游戲(Combinatorial Games)的一種，屬于“Impartial Combinatorial Games”（以下簡(jiǎn)稱ICG）。

滿足以下條件的游戲是ICG：
1、有兩名選手；
2、兩名選手交替對(duì)游戲進(jìn)行移動(dòng)(move)，每次一步，選手可以在（一般而言）有限的合法移動(dòng)集合中任選一種進(jìn)行移動(dòng)；
3、對(duì)于游戲的任何一種可能的局面，合法的移動(dòng)集合只取決于這個(gè)局面本身，不取決于輪到哪名選手操作、以前的任何操作、骰子的點(diǎn)數(shù)或者其它什么因素；
4、如果輪到某名選手移動(dòng)，且這個(gè)局面的合法的移動(dòng)集合為空（也就是說此時(shí)無法進(jìn)行移動(dòng)），則這名選手負(fù)。

通常的Nim游戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數(shù)量都是有限的，合法的移動(dòng)是“選擇一堆石子并拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個(gè)人時(shí)所有的石子堆都已經(jīng)被拿空了，則判負(fù)（因?yàn)樗丝虥]有任何合法的移動(dòng)）。

分析

從簡(jiǎn)單情況開始研究

如果輪到你的時(shí)候，只剩下一堆石子，那么此時(shí)的必勝策略肯定是把這堆石子全部拿完一顆也不給對(duì)手剩，然后對(duì)手就輸了。

如果剩下兩堆不相等的石子，必勝策略是通過取多的一堆的石子將兩堆石子變得相等，以后如果對(duì)手在某一堆里拿若干顆，你就可以在另一堆中拿同樣多的顆數(shù)，直至勝利。

如果你面對(duì)的是兩堆相等的石子，那么此時(shí)你是沒有任何必勝策略的，反而對(duì)手可以遵循上面的策略保證必勝。

深入研究

定義P-position和N-position，其中P代表Previous，N代表Next。

直觀的說，上一次move的人有必勝策略的局面是P-position，也就是“后手可保證必勝”或者“先手必?cái)　?#xff0c;現(xiàn)在輪到move的人有必勝策略的局面是N-position，也就是“先手可保證必勝”。

更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x是：
1.無法進(jìn)行任何移動(dòng)的局面（也就是terminal position）是P-position；
2.可以移動(dòng)到P-position的局面是N-position；
3.所有移動(dòng)都導(dǎo)致N-position的局面是P-position。

按照這個(gè)定義，如果局面不可能重現(xiàn)，或者說positions的集合可以進(jìn)行拓?fù)渑判?#xff0c;那么每個(gè)position或者是P-position或者是N-position，而且可以通過定義計(jì)算出來。

比如剛才說的當(dāng)只有兩堆石子且兩堆石子數(shù)量相等時(shí)后手有必勝策略，也就是這是一個(gè)P-position，下面依靠定義證明一下(3,3)P-position。

首先(3,3)的子局面有(0,3)(1,3)(2,3)，只需要計(jì)算出這三種局面的性質(zhì)就可以了。

(0,3)的子局面有(0,0)、(0,1)、(0,2)，其中(0,0)顯然是P-position，所以(0,3)是N-position（只要找到一個(gè)是P-position的子局面就能說明是N-position）。
(1,3)的后繼中(1,1)是P-position（因?yàn)?1,1)的唯一子局面(0,1)是N-position），所以(1,3)也是N-position。
同樣可以證明(2,3)是N-position。
所以(3,3)的所有子局面都是N-position，它就是P-position。
通過一點(diǎn)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)歸納，可以嚴(yán)格的證明“有兩堆石子時(shí)的局面是P-position當(dāng)且僅當(dāng)這兩堆石子的數(shù)目相等”。

根據(jù)上面這個(gè)過程，可以得到一個(gè)遞歸的算法——對(duì)于當(dāng)前的局面，遞歸計(jì)算它的所有子局面的性質(zhì)，如果存在某個(gè)子局面是P-position，那么向這個(gè)子局面的移動(dòng)就是必勝策略。

當(dāng)然，有大量的重疊子問題，所以可以用DP或者記憶化搜索的方法以提高效率。

但問題是，利用這個(gè)算法，對(duì)于某個(gè)Nim游戲的局面(a1,a2,…,an)來說，要想判斷它的性質(zhì)以及找出必勝策略，需要計(jì)算O(a1a2…*an)個(gè)局面的性質(zhì)，不管怎樣記憶化都無法降低這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度。

所以我們需要更高效的判斷Nim游戲的局面的性質(zhì)的方法。

(Bouton’s Theorem)：對(duì)于一個(gè)Nim游戲的局面(a1,a2,…,an)，它是P-position當(dāng)且僅當(dāng)a1^a2…^{an=0，其中}表示異或(xor)運(yùn)算。

證明

證明一種判斷position的性質(zhì)的方法的正確性，只需證明三個(gè)命題：
1、這個(gè)判斷將所有terminal position判為P-position；
2、根據(jù)這個(gè)判斷被判為N-position的局面一定可以移動(dòng)到某個(gè)P-position；
3、根據(jù)這個(gè)判斷被判為P-position的局面無法移動(dòng)到某個(gè)P-position。

第一個(gè)命題顯然，terminal position只有一個(gè)，就是全0，異或仍然是0。

第二個(gè)命題，對(duì)于某個(gè)局面(a1,a2,…,an)，若a1^ a2^ …^ an!=0，一定存在某個(gè)合法的移動(dòng)，將ai改變成ai’后滿足a1^ a2^ …^ ai’^ …^ an=0。不妨設(shè)a1^ a2^ …^ an=k，則一定存在某個(gè)ai，它的二進(jìn)制表示在k的最高位上是1（否則k的最高位那個(gè)1是怎么得到的）。這時(shí)ai^ k<ai一定成立。則我們可以將ai改變成ai’=ai^ k，此時(shí)a1^ a2^ …^ ai’^ …^ an=a1^ a2^ …^ an^ k=0。

第三個(gè)命題，對(duì)于某個(gè)局面(a1,a2,…,an)，若a1^ a2^ …^ an=0，一定不存在某個(gè)合法的移動(dòng)，將ai改變成ai’后滿足a1^ a2^ …^ ai’^ …^ an=0。因?yàn)楫惢蜻\(yùn)算滿足消去率，由a1^ a2^ …^ an=a1^ a2^ …^ ai’^ …^ an可以得到ai=ai’。所以將ai改變成ai’不是一個(gè)合法的移動(dòng)。證畢。

根據(jù)這個(gè)定理，我們可以在O(n)的時(shí)間內(nèi)判斷一個(gè)Nim的局面的性質(zhì)，且如果它是N-position，也可以在O(n)的時(shí)間內(nèi)找到所有的必勝策略。Nim問題就這樣基本上完美的解決了。

Nim游戲的形象具體論述：

Nim取子游戲是由兩個(gè)人面對(duì)若干堆硬幣（或石子）進(jìn)行的游戲。
設(shè)有k>=1堆硬幣，各堆分別含有N1，N2，……NK枚硬幣。
游戲的目的就是選擇最后剩下的硬幣。
游戲法則如下：
1．兩個(gè)游戲人交替進(jìn)行游戲（游戲人I和游戲人II）；
2．當(dāng)輪到每個(gè)游戲人取子時(shí)，選擇這些堆中的一堆，并從所選的堆中取走至少一枚硬幣（游戲人可以取走他所選堆中的全部硬幣）；
3．當(dāng)所有的堆都變成空堆時(shí)，最后取子的游戲人即為勝者。
這個(gè)游戲中的變量是堆數(shù)k和各堆的硬幣數(shù)N1，N2，……Nk。對(duì)應(yīng)的組合問題是，確定游戲人I獲勝還是游戲人II獲勝以及兩個(gè)游戲人應(yīng)該如何取子才能保證自己獲勝（獲勝策略）。

思路

首選考查某些特殊情況。

如果游戲開始時(shí)只有一堆硬幣，游戲人I則通過取走所有的硬幣而獲勝。

現(xiàn)在設(shè)有2堆硬幣，且硬幣數(shù)量分別為N1和N2，游戲人取得勝利取決于它們是否相等。
設(shè)N1！=N2，游戲人I從大堆中取走的硬幣使得兩堆硬幣數(shù)量相等，于是，游戲人I以后每次取子的數(shù)量與游戲人II相等而最終獲勝。
但是如果N1= N2，則：游戲人II只要按著游戲人I取子的數(shù)量在另一堆中取相等數(shù)量的硬幣，最終獲勝者將會(huì)是游戲人II。
這樣，兩堆的取子獲勝策略就已經(jīng)找到了。

每個(gè)正整數(shù)都有對(duì)應(yīng)的一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，例如：57(10) =111001(2) ，即：57(10)=2⁵+2⁴+2³+2⁰。
于是，我們可以認(rèn)為每一堆硬幣數(shù)由2的冪數(shù)的子堆組成。
這樣，含有57枚硬幣大堆就能看成是分別由數(shù)量為2⁵、2⁴、2³、2⁰的各個(gè)子堆組成。
現(xiàn)在考慮各大堆大小分別為N1，N2，……Nk的一般的Nim取子游戲。
將每一個(gè)數(shù)Ni表示為其二進(jìn)制數(shù)（數(shù)的位數(shù)相等，不等時(shí)在前面補(bǔ)0）：
N1 = as…a1a0
N2 = bs…b1b0
……
Nk = ms…m1m0
如果每一種大小的子堆的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，我們就稱Nim取子游戲是平衡的，而對(duì)應(yīng)位相加是偶數(shù)的稱為平衡位，否則稱為非平衡位。
因此，Nim取子游戲是平衡的，當(dāng)且僅當(dāng)：
as + bs + … + ms 是偶數(shù)
……
a1 + b1 + … + m1 是偶數(shù)
a0 + b0 + … + m0是偶數(shù)

于是，我們就能得出獲勝策略：
游戲人I能夠在非平衡取子游戲中取勝，而游戲人II能夠在平衡的取子游戲中取勝。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的经典数学问题：Nim游戏的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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