Title

給定一個整數數組，其中第 i 個元素代表了第 i 天的股票價格 。?

設計一個算法計算出最大利潤。在滿足以下約束條件下，你可以盡可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）:

你不能同時參與多筆交易（你必須在再次購買前出售掉之前的股票）。
賣出股票后，你無法在第二天買入股票 (即冷凍期為 1 天)。

示例:

輸入: [1,2,3,0,2]
輸出: 3
解釋: 對應的交易狀態為: [買入, 賣出, 冷凍期, 買入, 賣出]

動態規劃

Solve

將「買入」和「賣出」分開進行考慮：「買入」為負收益，而「賣出」為正收益。

我們需要盡可能地降低負收益而提高正收益，因此我們的目標總是將收益值最大化。

我們用 f[i] 表示第 i 天結束之后的「累計最大收益」。根據題目描述，由于我們最多只能同時持有一支股票，并且賣出股票后有冷凍期的限制，因此我們會有三種不同的狀態：

持有一支股票，對應的「累計最大收益」記為 f[i][0]；

不持有任何股票，并且處于冷凍期中，對應的「累計最大收益」記為 f[i][1]；

不持有任何股票，并且不處于冷凍期中，對應的「累計最大收益」記為 f[i][2]。

這里的「處于冷凍期」指的是在第 i 天結束之后的狀態。也就是說：如果第 i 天結束之后處于冷凍期，那么第 i+1 天無法買入股票。

如何進行狀態轉移呢？在第 i 天時，我們可以在不違反規則的前提下進行「買入」或者「賣出」操作，此時第 i 天的狀態會從第 i-1 天的狀態轉移而來；我們也可以不進行任何操作，此時第 i 天的狀態就等同于第 i-1 天的狀態。那么我們分別對這三種狀態進行分析：

對于 f[i][0]，目前持有的這一支股票可以是在第 i-1 天就已經持有的，對應的狀態為 f[i-1][0]；或者是第 i 天買入的，那么第 i-1 天就不能持有股票并且不處于冷凍期中，對應的狀態為 f[i-1][2] 加上買入股票的負收益 prices[i]。因此狀態轉移方程為：
$$f[i][0]=max(f[i?1][0],f[i?1][2]?prices[i])$$

對于 f[i][1]，我們在第 i 天結束之后處于冷凍期的原因是在當天賣出了股票，那么說明在第 i-1 天時我們必須持有一支股票，對應的狀態為 f[i-1][0] 加上賣出股票的正收益 {\it prices}[i]prices[i]。因此狀態轉移方程為：
$$f[i][1]=f[i?1][0]+prices[i]$$

對于 f[i][2]f[i][2]，我們在第 ii 天結束之后不持有任何股票并且不處于冷凍期，說明當天沒有進行任何操作，即第 i-1i?1 天時不持有任何股票：如果不處于冷凍期，對應的狀態為 f[i-1][1]f[i?1][1]；如果處于冷凍期，對應的狀態為 f[i-1][2]f[i?1][2]。因此狀態轉移方程為：
$$f[i][2]=max(f[i?1][1],f[i?1][2])$$

這樣我們就得到了所有的狀態轉移方程。如果一共有 n 天，那么最終的答案即為：
$$max(f[n?1][0],f[n?1][1],f[n?1][2])$$
注意到如果在最后一天（第 n-1 天）結束之后，手上仍然持有股票，那么顯然是沒有任何意義的。因此更加精確地，最終的答案實際上是 f[n?1][1] 和 f[n?1][2] 中的較大值，即：

細節

我們可以將第 0 天的情況作為動態規劃中的邊界條件：

$$f[0][0]=?prices[0]$$$$f[0][1]=0$$$$f[0][2]=0$$

在第 0 天時，如果持有股票，那么只能是在第 0 天買入的，對應負收益 ?prices[0]；如果不持有股票，那么收益為零。

注意到第 0 天實際上是不存在處于冷凍期的情況的，但我們仍然可以將對應的狀態 f[0][1] 置為零。

這樣我們就可以從第 1 天開始，根據上面的狀態轉移方程進行進行動態規劃，直到計算出第 n-1 天的結果。

空間優化

注意到上面的狀態轉移方程中，f[i][…] 只與 f[i-1][…] 有關，而與 f[i-2][…] 及之前的所有狀態都無關，因此我們不必存儲這些無關的狀態。也就是說，我們只需要將 f[i-1][0]，f[i-1][1]，f[i-1][2] 存放在三個變量中，通過它們計算出 f[i][0]，f[i][1]，f[i][2] 并存回對應的變量，以便于第 i+1 天的狀態轉移即可。

Code

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if not prices:return 0length = len(prices)f0, f1, f2 = -prices[0], 0, 0for i in range(1, length):nf0 = max(f0, f2 - prices[i])nf1 = f0 + prices[i]nf2 = max(f1, f2)f0, f1, f2 = nf0, nf1, nf2return max(f1, f2)

復雜度分析

時間復雜度：O(n)，其中 n 為數組 prices 的長度。

空間復雜度：O(1)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown 最佳买卖股票时机含冷冻期的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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