Title

給定一個(gè)整數(shù)數(shù)組，其中第 i 個(gè)元素代表了第 i 天的股票價(jià)格 。?

設(shè)計(jì)一個(gè)算法計(jì)算出最大利潤(rùn)。在滿足以下約束條件下，你可以盡可能地完成更多的交易（多次買賣一支股票）:

你不能同時(shí)參與多筆交易（你必須在再次購(gòu)買前出售掉之前的股票）。
賣出股票后，你無(wú)法在第二天買入股票 (即冷凍期為 1 天)。

示例:

輸入: [1,2,3,0,2]
輸出: 3
解釋: 對(duì)應(yīng)的交易狀態(tài)為: [買入, 賣出, 冷凍期, 買入, 賣出]

動(dòng)態(tài)規(guī)劃

Solve

將「買入」和「賣出」分開進(jìn)行考慮：「買入」為負(fù)收益，而「賣出」為正收益。

我們需要盡可能地降低負(fù)收益而提高正收益，因此我們的目標(biāo)總是將收益值最大化。

我們用 f[i] 表示第 i 天結(jié)束之后的「累計(jì)最大收益」。根據(jù)題目描述，由于我們最多只能同時(shí)持有一支股票，并且賣出股票后有冷凍期的限制，因此我們會(huì)有三種不同的狀態(tài)：

持有一支股票，對(duì)應(yīng)的「累計(jì)最大收益」記為 f[i][0]；

不持有任何股票，并且處于冷凍期中，對(duì)應(yīng)的「累計(jì)最大收益」記為 f[i][1]；

不持有任何股票，并且不處于冷凍期中，對(duì)應(yīng)的「累計(jì)最大收益」記為 f[i][2]。

這里的「處于冷凍期」指的是在第 i 天結(jié)束之后的狀態(tài)。也就是說(shuō)：如果第 i 天結(jié)束之后處于冷凍期，那么第 i+1 天無(wú)法買入股票。

如何進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移呢？在第 i 天時(shí)，我們可以在不違反規(guī)則的前提下進(jìn)行「買入」或者「賣出」操作，此時(shí)第 i 天的狀態(tài)會(huì)從第 i-1 天的狀態(tài)轉(zhuǎn)移而來(lái)；我們也可以不進(jìn)行任何操作，此時(shí)第 i 天的狀態(tài)就等同于第 i-1 天的狀態(tài)。那么我們分別對(duì)這三種狀態(tài)進(jìn)行分析：

對(duì)于 f[i][0]，目前持有的這一支股票可以是在第 i-1 天就已經(jīng)持有的，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為 f[i-1][0]；或者是第 i 天買入的，那么第 i-1 天就不能持有股票并且不處于冷凍期中，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為 f[i-1][2] 加上買入股票的負(fù)收益 prices[i]。因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
$$f[i][0]=max(f[i?1][0],f[i?1][2]?prices[i])$$

對(duì)于 f[i][1]，我們?cè)诘?i 天結(jié)束之后處于冷凍期的原因是在當(dāng)天賣出了股票，那么說(shuō)明在第 i-1 天時(shí)我們必須持有一支股票，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為 f[i-1][0] 加上賣出股票的正收益 {\it prices}[i]prices[i]。因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
$$f[i][1]=f[i?1][0]+prices[i]$$

對(duì)于 f[i][2]f[i][2]，我們?cè)诘?ii 天結(jié)束之后不持有任何股票并且不處于冷凍期，說(shuō)明當(dāng)天沒(méi)有進(jìn)行任何操作，即第 i-1i?1 天時(shí)不持有任何股票：如果不處于冷凍期，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為 f[i-1][1]f[i?1][1]；如果處于冷凍期，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)為 f[i-1][2]f[i?1][2]。因此狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：
$$f[i][2]=max(f[i?1][1],f[i?1][2])$$

這樣我們就得到了所有的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。如果一共有 n 天，那么最終的答案即為：
$$max(f[n?1][0],f[n?1][1],f[n?1][2])$$
注意到如果在最后一天（第 n-1 天）結(jié)束之后，手上仍然持有股票，那么顯然是沒(méi)有任何意義的。因此更加精確地，最終的答案實(shí)際上是 f[n?1][1] 和 f[n?1][2] 中的較大值，即：

細(xì)節(jié)

我們可以將第 0 天的情況作為動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的邊界條件：

$$f[0][0]=?prices[0]$$$$f[0][1]=0$$$$f[0][2]=0$$

在第 0 天時(shí)，如果持有股票，那么只能是在第 0 天買入的，對(duì)應(yīng)負(fù)收益 ?prices[0]；如果不持有股票，那么收益為零。

注意到第 0 天實(shí)際上是不存在處于冷凍期的情況的，但我們?nèi)匀豢梢詫?duì)應(yīng)的狀態(tài) f[0][1] 置為零。

這樣我們就可以從第 1 天開始，根據(jù)上面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程進(jìn)行進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃，直到計(jì)算出第 n-1 天的結(jié)果。

空間優(yōu)化

注意到上面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中，f[i][…] 只與 f[i-1][…] 有關(guān)，而與 f[i-2][…] 及之前的所有狀態(tài)都無(wú)關(guān)，因此我們不必存儲(chǔ)這些無(wú)關(guān)的狀態(tài)。也就是說(shuō)，我們只需要將 f[i-1][0]，f[i-1][1]，f[i-1][2] 存放在三個(gè)變量中，通過(guò)它們計(jì)算出 f[i][0]，f[i][1]，f[i][2] 并存回對(duì)應(yīng)的變量，以便于第 i+1 天的狀態(tài)轉(zhuǎn)移即可。

Code

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if not prices:return 0length = len(prices)f0, f1, f2 = -prices[0], 0, 0for i in range(1, length):nf0 = max(f0, f2 - prices[i])nf1 = f0 + prices[i]nf2 = max(f1, f2)f0, f1, f2 = nf0, nf1, nf2return max(f1, f2)

復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度：O(n)，其中 n 為數(shù)組 prices 的長(zhǎng)度。

空間復(fù)雜度：O(1)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown 最佳买卖股票时机含冷冻期的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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