問題描述

有三根柱子 A B C ，A柱上有 $n$ 個圓盤，最大的一個在底下，其余一個比一個小，依次疊上去。將所有在 A 上的圓盤移動到 C ，小盤只能在大盤上面。

計算移動次數

當 $n=1$ 時，A->C 移動一次
當 $n=2$ 時 ，A->B , A->C , B->C, 移動三次
當 $n=3$ 時 ，A ->C , A->B , C->B , A->C , B->A , B->C , A->C , 移動七次
設移動 $n$ 個盤需要移動 g(n) 次，分三個步驟完成：

將 $n$ 個盤上的 $n?1$ 個盤子借助 C 柱 從 A 柱移動到 B柱，需要 g(n-1) 次

將第 $n$ 個盤從 A 柱移動到 C 柱 ，需要移動 1 次

將 B 柱上的 $n?1$ 個盤借助 A 柱 移動到 C 柱，需要 g(n-1)次
綜上所述，遞歸關系為：
$$g(n)=2g(n?1)+1$$
初始條件為： $g(1)=1$

程序源代碼

#include<stdio.h> double g(int n){double s;if(n == 1)s = 1;elses = 2*g(n-1)+1;return s; } int main(){int n;printf("請輸入盤片數n：");scanf("%d",&n);if(n<=40)printf("%d盤的移動次數為:%0.0f\n",n,g(n));elseprintf("%d盤的移動次數為：%.4e\n",n,g(n));return 0;}

移動過程

設遞歸函數 hn(int n,char a,char b,char c) 表示把 n 個盤從 A 柱 借助 B 柱 移動到 C 柱的過程， 函數 mv(char x,char y) 表示 X -> Y
當 n = 1 時，mv(a,c)
當 n > 1 時， 分三步：

將 $n$ 個盤上的 $n?1$ 個盤子借助 C 柱 從 A 柱移動到 B柱，即 hn(n-1,a,c,b)

將第 $n$ 個盤從 A 柱移動到 C 柱 ，mv(a,c)

將 B 柱上的 $n?1$ 個盤借助 A 柱 移動到 C 柱，hn(n-1,b,a,c)

程序源代碼

#include<stdio.h> int k = 0; void mv(char x,char y){printf("%c --> %c\t",x,y);k++;if(k % 5 == 0)printf("\n"); }void hn(int n,char a,char b,char c){if(n == 1)mv(a,c);else{hn(n-1,a,c,b);mv(a,c);hn(n-1,b,a,c);} } int main(){int n;printf("請輸入盤片數n：");scanf("%d",&n); hn(n,'A','B','C');printf("\n總共移動的次數->%d",k);return 0;}

總結

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