霍夫變換原理說明

在直角坐標系上有一點$B$，經過這個點有一條直線，$\rho$為原點到該直線的距離，垂足是點$A$，這個線段與x軸的夾角為$\theta$。如下圖1所示：

圖1

思考1：能不能用$(\rho ,\theta )$來表示經過點$B$的一條直線呢？

我們先來看圖2，對于點$B$，假定它的坐標是$(x_0,y_0)$，那么向量$OB=(x_0,y_0)$，$O$是原點。

而在$OA$方向上的單位向量為$\hat{e}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，所謂單位向量就是長度為1的向量。

圖2

在高數中，一個向量$a$與一個單位向量$\hat{e}$的向量乘積等于$a$在$\hat{e}$方向上的投影，如下圖3所示：

向量的投影具體解釋請參考同濟大學第七版的下冊的第八章第一節。

圖3

按照這個性質，$OB$和$\hat{e}$的向量乘積$OB?\hat{e}$，就是$OB$在單位向量$\hat{e}$方向上的投影，這個投影是什么呢？顯然是$\rho$。

所以

$$\rho =OB?\hat{e}=(x_0,y_0)?(\cos \theta ,\sin \theta )=x_0\cos \theta +y_0\sin \theta$$

上面只是證明了點$B$滿足這個式子，那直線上的其他點是否也滿足這個公式呢？

我們在直線上任取一點$C(x_1,y_1)$，有$OC=(x_1,y_1)$。

圖4

同理，$OC$在單位向量$\hat{e}$上的投影是
$$\rho =OC?\hat{e}=(x_1,y_1)?(\cos \theta ,\sin \theta )=x_1\cos \theta +y_1\sin \theta$$
由此可以知道，直線上的任一點$(x,y)$都滿足：
$$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$$
所以，只要$(\rho ,\theta )$確定，那么直線也就唯一確定。

思考2：一個點$(x,y)$為什么對應無數個$(\rho ,\theta )$呢？

原因很簡單，過一個點有無數條直線，每條直線都會對應一個$(\rho ,\theta )$，如圖5所示。

圖5

如果放到$(\rho ,\theta )$坐標系，就會形成一條曲線，如圖6所示：

圖6

我們稱$(\rho ,\theta )$坐標系為霍夫空間。

所以，直角坐標系的一點$(x,y)$對應霍夫空間的一條正弦曲線$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$。

同理過點$C$也有無數條直線，對應著無數個$(\rho ,\theta )$。

圖7

也會形成一條曲線，如圖8所示：

圖8

思考3：霍夫空間兩條曲線的相交點意味著什么？

意味著兩點確定的一條直線。

圖8給出的相交點$({\rho }_3,{\theta }_3)$，對應著圖7的紅色直線。

所以，我們可以通過霍夫空間中兩個或以上曲線的相交點，來找到$(x,y)$空間的一條直線，這就是霍夫變換檢測直線的原理。

圖9

思考4：根據上面的原理，實際又是怎么操作的呢？（也就是課程中參數空間劃分網格統計的內容）

給個例子：現有如圖的的7個點。

[外鏈圖片轉存失敗,源站可能有防盜鏈機制,建議將圖片保存下來直接上傳(img-kfmRm2Hv-1603519480748)(picts/%E5%BE%AE%E4%BF%A1%E5%9B%BE%E7%89%87_20191119182005.png)]

圖10

按照霍夫變換原理，對于點$(x_0,y_0)$，需要轉換成霍夫空間的一條曲線，我們不可能保存曲線上的所有點$(\rho ,\theta )$，畢竟計算機存儲空間有限，那我們只取特定$\theta$上的曲線點。

第一步：$\theta$離散化

下面$\theta$在-90°~90°的范圍（因為$\theta$的周期是180°，當然你也可以在0° ~ 180°的范圍內取值），以45°的步長（步長自己取，要精度高，就取小一點）取5個值：-90°，-45°，0°，45°，90°。因為-90°和90°是同一條線，所以可以去掉其中之一，這里選擇去掉-90°。

第二步：計算$\rho$

最后，將$(x_0,y_0)$和$\theta$各個取值代入$\rho =x\cos \theta +y\sin \theta$，求出$\rho$，如下圖。

圖11

譬如，點$(2,0)$在$\theta$取-45°（也就是$?\frac{\pi }{4}$）時，$\rho =2\times \cos (?\frac{\pi }{4})+0\times \sin (?\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\approx 1.4$，對應到上表第一行第一個數值，其他數值依次類推。

第三步：統計$(\rho ,\theta )$出現的次數

通過圖11已經將點的坐標轉換到霍夫空間，統計所有$(\rho ,\theta )$出現過的次數，如下圖：

圖12

圖12里面有很多$(\rho ,\theta )$情況都出現過（有的出現1次，有的出現2次，有的出現3次），但并不是所有點我們都要，因為這樣檢出的直線會很多，我們可以設置個閾值，出現次數大于閾值的我們才要。

假定閾值為2，也就是找出現次數大于2的霍夫空間點，這樣會篩選出次數為3的兩個霍夫空間點：$(\rho ,\theta )=$ (2,0°) 和 $(\rho ,\theta )=$ (3,90°) 。

對應到坐標空間的兩條直線：
$$2=x\cos 0+y\sin 0,即x=2$$
和
$$3=x\cos \frac{\pi }{2}+y\sin \frac{\pi }{2},即y=3$$
所以最后檢出的兩條直線如下圖：

圖13

總結

以上是生活随笔為你收集整理的霍夫变换原理说明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。