树的知识总结
樹TREE
?如圖所示：?
樹的概念
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需要注意：
樹( tree)是n(n≥0)個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合。當(dāng)n=0時(shí),稱為空樹;任意一棵非空樹滿足以下條件:
1)有且僅有一個(gè)特定的稱為根(root)的結(jié)點(diǎn)。
(2)當(dāng)n>1時(shí),除根結(jié)點(diǎn)之外的其余結(jié)點(diǎn)被分成m(m>0)個(gè)互不相交的有限集合：T1，T2,…,Tm,其中每個(gè)集合又是一棵樹,并稱為這個(gè)根結(jié)點(diǎn)的子樹(subtree)。需要強(qiáng)調(diào)的是,樹中根結(jié)點(diǎn)的子樹之間是互不相交的。
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結(jié)點(diǎn)分類：
結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系：
(1)結(jié)點(diǎn)的度、樹的度
某結(jié)點(diǎn)所擁有的子樹的個(gè)數(shù)為該節(jié)點(diǎn)的度，樹的度是每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度中的最大值。
(2)葉子結(jié)點(diǎn)、分支結(jié)點(diǎn)
度為0的結(jié)點(diǎn)稱為葉子結(jié)點(diǎn)或者稱為終端結(jié)點(diǎn)：度不為0的結(jié)點(diǎn)稱為分支結(jié)點(diǎn),也稱為非終端結(jié)點(diǎn)。 (3)孩子結(jié)點(diǎn)、雙親結(jié)點(diǎn)、兄弟結(jié)點(diǎn)
某結(jié)點(diǎn)的子樹的根結(jié)點(diǎn)稱為該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)(child node):反之，該結(jié)點(diǎn)稱為其孩子結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)(parent node):具有同一個(gè)雙親的孩子結(jié)點(diǎn)互稱為兄弟結(jié)點(diǎn)(brother node)。
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樹其他相關(guān)概念：
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樹具有的特點(diǎn)：
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樹的相關(guān)術(shù)語：
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樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
1.雙親表示法：
樹除了根結(jié)點(diǎn)外，其余每個(gè)結(jié)點(diǎn)，它不一定有孩子，但一定有且僅有一個(gè)雙親。 假設(shè)以一組連續(xù)空間存儲(chǔ)樹的結(jié)點(diǎn)，同時(shí)在每個(gè)結(jié)點(diǎn)中，附設(shè)一個(gè)指示器指示其雙親結(jié)點(diǎn)到鏈表中的位置。也就是說，每個(gè)結(jié)點(diǎn)除了知道自己是誰以外，還知道它的雙親在哪里。它的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)如圖6-4-1所示。 其中data是數(shù)據(jù)域，存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息，parent是指針域，存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的雙親在數(shù)組中的下標(biāo)。 以下是雙親表示法的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義代碼：
/*樹的雙親表示法結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義*/ #define MAX_TREE_SIZE 100 typedef int TElemType;/*樹結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)類型，暫且定為整型*/ typedef struct PTNode/*結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)*/ {TElemType data;/*結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)*/int parent;/*雙親位置*/ }PTNode; typedef struct/*樹結(jié)構(gòu)*/ {PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];/*結(jié)點(diǎn)數(shù)組*/int r, n;/*根的位置和結(jié)點(diǎn)數(shù)*/ }PTree; ?由于根結(jié)點(diǎn)是沒有雙親的，所以我們約定根結(jié)點(diǎn)的位置域設(shè)置為-1，這就意味著我們所有的結(jié)點(diǎn)都存有它的雙親位置。如圖6-4-1的樹結(jié)構(gòu)和表6-4-2的樹雙親表示法所示。
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這樣的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)我們可以根據(jù)結(jié)點(diǎn)的parent指針很容易找到它的雙親位置，所用的時(shí)間復(fù)雜度為O(1），知道parent=-1時(shí)表示找到了樹結(jié)點(diǎn)的根。但如果要知道結(jié)點(diǎn)的孩子是什么，需要遍歷整個(gè)結(jié)構(gòu)。
為了更方便地找到結(jié)點(diǎn)的孩子，我們增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)最左邊孩子的域，稱為長子域，這樣就可以很容易地得到結(jié)點(diǎn)地孩子。如果沒有孩子地結(jié)點(diǎn)，這個(gè)長子域就設(shè)置為-1，如表6-4-3所示。
對于有0個(gè)或1個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)來說，這樣地結(jié)構(gòu)是解決了要找孩子結(jié)點(diǎn)的問題了。甚至是有兩個(gè)孩子，知道了長子是誰，另一個(gè)當(dāng)然是次子了。 為了體現(xiàn)各兄弟之間的關(guān)系，可以增加一個(gè)有兄弟域來體現(xiàn)兄弟的關(guān)系，也就是說每一個(gè)結(jié)點(diǎn)如果它存在右兄弟，則記錄下右兄弟的下標(biāo)。同樣地，如果右兄弟不存在，則賦值為-1，如表6-4-4所示。
但如果結(jié)點(diǎn)地孩子很多，超過了2個(gè)，我們又關(guān)注結(jié)點(diǎn)的孩子，又關(guān)注結(jié)點(diǎn)的雙親，還關(guān)注結(jié)點(diǎn)的右兄弟，而且對時(shí)間遍歷要求還比較高，那么我們可以把此結(jié)構(gòu)擴(kuò)展為有雙親域、長子域、還有右兄弟域(即用 空間換取了時(shí)間)。存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)是一個(gè)非常長靈活的過程。一個(gè)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)得是否合理，取決于基于該存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算是否適合、是否方便，時(shí)間復(fù)雜度好不好等。注意也不是越多越好，有需要再設(shè)計(jì)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)。
2.孩子表示法：
換一種完全不同的考慮方法。由于樹中每個(gè)結(jié)點(diǎn)可能有多棵子樹，可以考慮用多重鏈表，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)指針域，其中每個(gè)指針指向一棵子樹的根結(jié)點(diǎn)，我們把這種方法叫作多重鏈表表示法。不過樹的每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度，也就是它的孩子的個(gè)數(shù)是不相同的。所以可以設(shè)計(jì)兩種方案來解決。
方案一： 一種是指針域的個(gè)數(shù)就等于樹的度，因?yàn)闃涞亩仁菢涓鱾€(gè)結(jié)點(diǎn)度的最大值。其結(jié)構(gòu)如下表：
其中data是數(shù)據(jù)域，child1到childd是指針域，用來指向該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)。 對于圖6-4-1的樹來說，樹的度是3，所以指針域的個(gè)數(shù)是3，這種方法實(shí)現(xiàn)如下圖：
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這種方法對于樹中各結(jié)點(diǎn)的度相差很大時(shí)，顯然是很浪費(fèi)空間的，因?yàn)橛泻芏嗟慕Y(jié)點(diǎn)，它的指針域都是空的。不過如果樹中各結(jié)點(diǎn)的度相差很小時(shí)，那就意味著開辟的空間被充分利用了，這時(shí)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)反而變成優(yōu)點(diǎn)了。 既然很多指針域都可能為空，那就按需分配空間，即引出了第二中分配方法。
方案二： 第二種方案每個(gè)結(jié)點(diǎn)指針域的個(gè)數(shù)等于該結(jié)點(diǎn)的度，專門取一個(gè)位置來存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)指針域的個(gè)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如下表所示：
其中data是數(shù)據(jù)域，degree為度域，也就是存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，child1到childd是指針域，用來指向該結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)。 對于圖6-4-2的樹來說，該方法實(shí)現(xiàn)如下圖：
這種方法克服了浪費(fèi)空間的缺點(diǎn)，對空間利用率是很高了，但是由于各個(gè)結(jié)點(diǎn)的鏈表是不同的結(jié)構(gòu)，加上要維護(hù)結(jié)點(diǎn)的度的數(shù)值，在運(yùn)算上就會(huì)帶來時(shí)間上的損耗。 為了既可以減少空指針的浪費(fèi)又能使結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)相同，可以把每個(gè)結(jié)點(diǎn)放到一個(gè)順序存儲(chǔ)的結(jié)構(gòu)數(shù)組中，再對每個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子建立一個(gè)單鏈表體現(xiàn)它們的關(guān)系。 這就是我們要講的孩子表示法。具體辦法是，將每個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)排列起來，以單鏈表作存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，則n個(gè)結(jié)點(diǎn)有n個(gè)孩子鏈表，如果是葉子結(jié)點(diǎn)，則此單鏈表為空。然后n個(gè)頭指針又組成一個(gè)線性表，采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，存放進(jìn)一個(gè)一維數(shù)組中，如圖6-4-4所示。
為此，設(shè)計(jì)兩種結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)，一個(gè)是孩子鏈表的孩子結(jié)點(diǎn)，如下表：
其中，child是數(shù)據(jù)域，用來存儲(chǔ)某個(gè)結(jié)點(diǎn)在表頭數(shù)組中的下標(biāo)。next是指針域，用來存儲(chǔ)指向某結(jié)點(diǎn)的下一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)的指針。 另一個(gè)是表頭數(shù)組 的表頭結(jié)點(diǎn)，如下表 ：
其中data是數(shù)據(jù)域，存儲(chǔ)某結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息。firstchild是頭指針域，存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的孩子鏈表的頭指針。 以下是孩子結(jié)點(diǎn)表示法的結(jié)構(gòu)定義代碼：
/*樹的孩子表示法結(jié)構(gòu)定義*/ typedef struct CTNode/*孩子結(jié)點(diǎn)*/ {int child;/*孩子結(jié)點(diǎn)在表頭數(shù)組中的下標(biāo)*/CTNode* next;/*指向某結(jié)點(diǎn)的下一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)*/ }*ChildPtr; typedef struct/*表頭數(shù)組 */ {TElemType data;/*某結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域，存儲(chǔ)某節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息*/ChildPtr firstchild;/*指向某結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)*/ }CTBox; typedef struct/*樹結(jié)構(gòu)*/ {CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];/*結(jié)點(diǎn)數(shù)組*/int r, n;/*根的位置和結(jié)點(diǎn)數(shù)*/ }CTree這樣的結(jié)構(gòu)對于要找某個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子，或者找某個(gè)結(jié)點(diǎn)的兄弟，只需要查找這個(gè)結(jié)點(diǎn)的孩子單鏈表即可。對于遍歷整棵樹也是很方便，對頭結(jié)點(diǎn)的數(shù)組進(jìn)行循環(huán)即可。 但是，這也存在著問題，要想知道某個(gè)結(jié)點(diǎn)的雙親是誰，需要整棵樹遍歷才行，比較麻煩。 把雙親表示法和孩子表示法綜合，如下圖：
把這種方法稱為孩子雙親表示法，應(yīng)該算是孩子表示法的改進(jìn)，其結(jié)構(gòu)代碼定義如下：
typedef struct/*表頭數(shù)組 */ {TElemType data;/*某結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域，存儲(chǔ)某節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息*/ChildPtr firstchild;/*指向某結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)*/int parent;/*雙親位置*/ }CTBox;其余和孩子表示法相同。
3.孩子兄弟表示法：
觀察發(fā)現(xiàn) 任意發(fā)現(xiàn)，任意一棵樹，它的結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設(shè)置兩個(gè)指針 分別指向該結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子和此節(jié)點(diǎn)的右兄弟。 結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)如下表：
其中data是數(shù)據(jù)域，firstchild為指針域，存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址，rightsib是指針域，存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的右兄弟結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址。 結(jié)構(gòu)定義代碼如下 ：
/*樹的孩子兄弟法結(jié)構(gòu)定義 */ typedef struct {TElemType data;/*數(shù)據(jù)域*/struct CSNode* firstchild, *rightsib;/*指向第一個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)和右兄弟結(jié)點(diǎn)*/ }CSNode,*CSTree;對于圖6-4-1的樹來說，這種方法實(shí)現(xiàn)的示意圖如下圖所示：
這樣表示方法，給查找某個(gè)結(jié)點(diǎn)的某個(gè)孩子帶來了方便，只需要通過firstchild找到此結(jié)點(diǎn)的長子，然后再通過此結(jié)點(diǎn)的rightsib找到它的二弟，接著一直下去，直到找到具體的孩子。如果要查找某個(gè)結(jié)點(diǎn)的雙親，可以再增加一個(gè)parent指針域來解決快速查找雙親的問題。 其實(shí)這個(gè)表示法最大的好處是它把一棵復(fù)雜的樹變成了一棵二叉樹。把圖6-4-6變形即可得到下圖這個(gè)樣子：
這樣就可以充分利用二叉樹的性質(zhì)和算法來處理這棵樹了 。
二叉樹
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二叉樹的定義
對于這種在某個(gè)階段都是兩種結(jié)果的情形，比如開和關(guān)、0和1、真和假、上和下、對與錯(cuò)、正面和反面等，都適合用樹狀結(jié)構(gòu)來建模，而這種樹是很特殊的樹狀結(jié)構(gòu)，叫做二叉樹。 二叉樹(Binary Tree)是n(n≥0)個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限集合，該集合或者為空集(稱為空二叉樹)，或者由一個(gè)根結(jié)點(diǎn)和兩棵互不相交的、分別稱為根結(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹的二叉樹組成。如下圖：
(1)二叉樹特點(diǎn)
二叉樹的特點(diǎn)有：
1）每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大于2的結(jié)點(diǎn)。注意不是只有兩棵子樹，而是最多有。沒有子樹或者有一棵子樹也是可以的。
2)左子樹和右子樹 是有順序的，次序不能任意顛倒。
3）即使樹中某結(jié)點(diǎn)只有一棵子樹，也要區(qū)分它是左子樹還是右子樹。如下圖，樹1和樹2是同一棵樹，但它們卻是不同的二叉樹。
二叉樹具有五種基本形態(tài)：
1)空二叉樹；
2）只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)；
3）根結(jié)點(diǎn)只有左子樹；
4）根結(jié)點(diǎn)只有右子樹；
5)根結(jié)點(diǎn)既有左子樹又有右子樹。
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如果有三個(gè)結(jié)點(diǎn)，則存在如下物種二叉樹：
（2）特殊二叉樹
1）斜樹 斜樹一定是斜的，但往哪里斜還是有講究的。所有結(jié)點(diǎn)都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結(jié)點(diǎn)都只有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統(tǒng)稱為斜樹。圖6-5-4中的樹2就是左斜樹，樹3就是右斜樹。斜樹有很明顯的特點(diǎn)，就是每一層都只有結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與二叉樹的深度相同。 其實(shí)線性表的結(jié)構(gòu)可以理解為樹的一種極為特殊的表現(xiàn)形式。
2）滿二叉樹 在一棵二叉樹中，如果所有分支結(jié)點(diǎn)都存在左子樹和右子樹，并且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹，如下圖：
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滿二叉樹的特點(diǎn)有： 葉子只出現(xiàn)在最下一層，出現(xiàn)在其他層就不可能達(dá)到平衡； 非葉子結(jié)點(diǎn)的度一定是2； 在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)最大，葉子個(gè)數(shù)也最多。
3）完全二叉樹
二叉樹的性質(zhì)
(1)第i層的至多結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
（2）深度為k的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
（3）終端結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和度為2的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系
（4）具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度
（5）判斷根、雙親、左右孩子的編號(hào)和總的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系
二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
（1）二叉樹順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
前面提到順序存儲(chǔ)對樹這種一對多的關(guān)系結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)起來是比較困難的，但是二叉樹是一種特殊的樹，它的特殊性使得用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)也可以實(shí)現(xiàn)。 二叉樹的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)就是用一維數(shù)組存儲(chǔ)二叉樹中的結(jié)點(diǎn)，并且結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)位置，也就是數(shù)組的下標(biāo)要能體現(xiàn)結(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，比如雙親與孩子的關(guān)系、左右兄弟的關(guān)系等。
/*二叉樹順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，其中數(shù)組下標(biāo)即表示結(jié)點(diǎn)的編號(hào)*/ typedef int SBElemType;/*SBElemType依據(jù)實(shí)際類型而定，這里假設(shè)為int型*/ typedef struct {SBElemType data[MAX_TREE_SIZE];/*結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)域*/int len;/*數(shù)組長度*/ }SBTree; 1234567（2）二叉鏈表
二叉樹每個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)孩子，所以為它設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)域和兩個(gè)指針域是比較自然的想法。我們稱這樣的鏈表叫二叉鏈表，其結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)圖如下表： 其中data是數(shù)據(jù)域，lchild和rchild是指針域，分別存放指向左孩子和右孩子的指針。 以下是二叉鏈表結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的定義代碼：
/*二叉樹的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)定義代碼*/ typedef struct BiTNode/*結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)*/ {TElemType data;/*結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)*/struct BiTNode* lchild, *rchild;/*左右孩子指針*/ }BiTNode,*BiTree;結(jié)構(gòu)示意圖如下所示： 就如同樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中討論的一樣，如果有需要，還可以再增加一個(gè)指向其雙親的指針域，那樣就稱之為三叉鏈表。
遍歷二叉樹
（1）二叉樹遍歷原理
對于二叉樹的遍歷來說，次序顯得很重要。 二叉樹的遍歷(traversing binary tree)是指從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結(jié)點(diǎn)，使得每個(gè)結(jié)點(diǎn)被訪問依次且僅被訪問一次。 這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞，訪問和次序。 訪問其實(shí)是要根據(jù)實(shí)際的需要來確定具體做什么，比如對每個(gè)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算、輸出打印等，它其實(shí)算是一個(gè)抽象操作。在這里我們可以簡單假定就是輸出結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)信息。 二叉樹的遍歷次序不同于線性結(jié)構(gòu)，最多也是從頭至尾、循環(huán)、雙向等簡單的遍歷方式。樹的結(jié)點(diǎn)之間不存在唯一的前驅(qū)和后繼關(guān)系，在訪問一個(gè)結(jié)點(diǎn)后，下一個(gè)被訪問的結(jié)點(diǎn)面臨著不同的選擇，由于選擇方式的不同，遍歷的次序就完全不同了。
（2）二叉樹遍歷方法
二叉樹的遍歷方式可以有很多，如果我們限制了從左到右的遍歷方式，那么主要就分為四種：
1)前序遍歷
規(guī)則是若二叉樹為空，則空操作返回，否則先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后前序遍歷左子樹（注意是左子樹而不是左結(jié)點(diǎn)），再前序遍歷右子樹，如下圖，遍歷次序?yàn)?#xff1a;ABDGHCEIF。
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2）中序遍歷
規(guī)則是若樹為，則空操作返回，否則從根結(jié)點(diǎn)開始(注意并不是先訪問根結(jié)點(diǎn))，中序遍歷根結(jié)點(diǎn)的左子樹，然后是訪問中結(jié)點(diǎn)，最后中序遍歷右 子樹。如下圖，遍歷的順序?yàn)?#xff1a;GDHBAEICF。
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3）后序遍歷
規(guī)則是若樹為空，則空操作返回，否則從左到右先葉子后結(jié)點(diǎn)的方式遍歷 訪問左右子樹，最后是訪問根結(jié)點(diǎn)。如下圖，遍歷次序?yàn)?#xff1a;GHDBIEFCA。
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4）層次遍歷
規(guī)則是若樹為空，則空操作返回，否則從樹的第一層，也就是根結(jié)點(diǎn)開始訪問，從上而下逐層遍歷 ，在同一層中，按從左到右的順序?qū)Y(jié)點(diǎn)逐個(gè)訪問。如下圖，遍歷順序?yàn)?#xff1a;ABCDEFGHI。
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我們用圖形的方式來表現(xiàn)樹的結(jié)構(gòu)，應(yīng)該說是非常直觀和容易理解，但對于計(jì)算機(jī)來說，它只有循環(huán)、判斷等方式來處理，也就是說，它只會(huì)處理線性序列，而我們剛才提到的四種遍歷方法，其實(shí)都是在把 樹中的結(jié)點(diǎn)變成某種意義的線性序列，這就給程序 的實(shí)現(xiàn)帶來了好處。 另外不同的遍歷提供了 對結(jié)點(diǎn)依次處理的不同方式，可以在遍歷過程中對結(jié)點(diǎn)進(jìn)行各種處理。
(3)前序遍歷算法
二叉樹的定義是用遞歸的方式，所以，實(shí)現(xiàn)遍歷算法也可以采用遞歸，而且及其簡單明了。二叉樹的前序遍歷算法，代碼如下：
/*二叉樹的前序遍歷算法*/ void PreOrderTraverse(BiTree T) {if (NULL == T)/*退出遞歸的條件*/return;printf("%c", T->data);/*顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以改為其他對結(jié)點(diǎn)的操作*/PreOrderTraverse(T->lchild);/*再先遍歷左子樹*/PreOrderTraverse(T->rchild);/*最后遍歷右子樹*/ }對過程6的理解： “訪問了K結(jié)點(diǎn)的右孩子，也是null，返回。于是此函數(shù)執(zhí)行完畢”：“此函數(shù)”是指T指向K結(jié)點(diǎn)時(shí)的函數(shù)，“執(zhí)行完畢”是指該結(jié)點(diǎn)不存在左孩子和右孩子，因此不再發(fā)生下一級(jí)遞歸，故已完成該函數(shù)的遞歸。 “返回到上一級(jí)遞歸函數(shù)”：能返回的原因是本級(jí)的遞歸是在上一級(jí)調(diào)用PreOrderTraverse(T->lchild)時(shí)發(fā)生的，這就意味著，上一級(jí)的遞歸還沒完成就已進(jìn)入本級(jí)遞歸，故本級(jí)遞歸完成后，自然要繼續(xù)執(zhí)行上一級(jí)未完成的遞歸。 “也執(zhí)行完畢”：因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)K是結(jié)點(diǎn)H的右孩子，所以結(jié)點(diǎn)K的遞歸完成，也就意味著在結(jié)點(diǎn)H遞歸中已執(zhí)行完P(guān)reOrderTraverse(T->rchild)語句，故結(jié)點(diǎn)H也完成了遞歸。 “返回到打印D時(shí)的函數(shù)，調(diào)用PreOrderTraverse(T->rchild)“：”函數(shù)“中 的T指向結(jié)點(diǎn)D；已完成結(jié)點(diǎn)D左子樹的遞歸，繼續(xù)執(zhí)行其右子樹的遞歸。 T指向J時(shí)的函數(shù)執(zhí)行完之后，意味著所有結(jié)點(diǎn)的遞歸都執(zhí)行完，因此完成了該算法的遞歸調(diào)用。
（4）中序遍歷算法
/*二叉樹的中序遍歷遞歸算法*/ void InOrderTraverse(BiTree T) {if (NULL == T)/*遞歸退出的條件*/return;InOrderTraverse(T->lchild);/*先中序遍歷左子樹*/printf("%c", T->data);/*顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以改為其他對結(jié)點(diǎn)的操作*/InOrderTraverse(T->rchild);/*最后中遍歷右子樹*/ }（5)后序遍歷算法
/*二叉樹的后序遍歷遞歸算法*/ void PostOrderTraverse(BiTree T) {if (NULL == T)/*遞歸退出的條件*/return;PostOrderTraverse(T->lchild);/*先中序遍歷左子樹*/PostOrderTraverse(T->rchild);/*再后序遍歷右子樹*/printf("%c", T->data);/*顯示結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以改為其他對結(jié)點(diǎn)的操作*/ }打印后續(xù)結(jié)點(diǎn)的過程：打印K之后，結(jié)點(diǎn)H的遞歸執(zhí)行完，打印H；執(zhí)行上一級(jí)，結(jié)點(diǎn)D無右孩子，打印D，D結(jié)點(diǎn)完成遞歸；執(zhí)行上一級(jí)，執(zhí)行B結(jié)點(diǎn)的右孩子E遞歸，E無左右孩子，打印E，B的遞歸完成，打印B；執(zhí)行上一級(jí)，執(zhí)行A的右孩子C遞歸，C有左孩子F，F有左孩子I，I無左右孩子，打印I；F無右孩子，F遞歸結(jié)束，打印F；返回上一級(jí)，C有右孩子G，G無左孩子,有右孩子J，J無左右孩子，打印J；G完成遞歸，打印G；C完成遞歸，打印C；A完成遞歸，打印A。至此，該遞歸算法執(zhí)行結(jié)束。
（6）推導(dǎo)遍歷結(jié)果
本篇大部分是我向其他人學(xué)習(xí)的，如有不會(huì)，可以一起探討。網(wǎng)上也有相應(yīng)的課程學(xué)習(xí)，比如一個(gè)青島大學(xué)的老師，我就在她那學(xué)習(xí)的。
總結(jié)
