最短路徑介紹

最短路徑問題是圖論研究中的一個經典算法問題，旨在尋找圖中兩結點之間的最短路徑。 算法具體的形式包括：

確定起點的最短路徑問題，即已知起始結點，求最短路徑的問題。

確定終點的最短路徑問題，與確定起點的問題相反，該問題是已知終結結點，求最短路徑的問題。
在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有路徑方向反轉的確定起點的問題。

確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑。

全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。

解決方法

用于解決最短路徑問題的算法被稱做“最短路徑算法”， 有時被簡稱作“路徑算法”。 最常用的路徑算法有：
Dijkstra算法
SPFA算法\Bellman-Ford算法
Floyd算法\Floyd-Warshall算法
Johnson算法
A*算法

單源最短路徑

問題描述

給定一個帶權有向圖 G=(V,E) ，其中每條邊的權是一個非負實數。

還給定 V中的一個頂點，稱為源。

現在我們要計算從源到所有其他各頂點的最短路徑長度。這里的長度是指路上各邊權之和。

這個問題通常稱為單源最短路徑問題。

Dijkstra算法的解決方案

算法思路

指定一個節點，例如我們要計算 ‘A’ 到其他節點的最短路徑

引入兩個集合（S、U）：
S集合包含已求出的最短路徑的點（以及相應的最短長度），
U集合包含未求出最短路徑的點（以及A到該點的路徑，注意如上圖所示，A->C由于沒有直接相連，初始時為∞）

初始化兩個集合，S集合初始時只有當前要計算的節點，A->A = 0，
U集合初始時為：
A->B = 4,
A->C = ∞,
A->D = 2,
A->E = ∞，
敲黑板！！！接下來要進行核心兩步驟了

從U集合中找出路徑最短的點，加入S集合，例如 A->D = 2

更新U集合路徑，if ( ‘D 到 B,C,E 的距離’ + ‘AD 距離’ < ‘A 到 B,C,E 的距離’ ) ，則更新U

循環執行4、5 兩步驟，直至遍歷結束，得到A 到其他節點的最短路徑

算法圖解

選定A節點并初始化

找出U集合中路徑最短的節點D加入S集合，并根據條件if( ‘D 到 B,C,E 的距離’ + ‘AD 距離’ < ‘A 到 B,C,E 的距離’ ) 來更新U集合，此時:
D->B = 1,
D->C = 1,
D->E = 7，
所以，此時：
A->D->B = 3,
A->D->C = 3,
A->D->E = 7，
比起第一步的：
A->B = 4,
A->C = ∞,
A->D = 2,
A->E = ∞，
所以，我們要更新U集合！使之到其余頂點的路是比之前來說短的！

這時候 A->B, A->C 都為3，沒關系。其實這時候他倆都是最短距離，如果從算法邏輯來講的話，會先取到B點。而這個時候 if 條件變成了 if ( ‘B 到 C,E 的距離’ + ‘AB 距離’ < ‘A 到 C,E 的距離’ ) ，如圖所示這時候A->B距離 其實為 A->D->B

思路就是這樣，往后就是大同小異了

算法結束

參考

作者：殷天文 鏈接：https://www.jianshu.com/p/ff6db00ad866

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图的应用1---单源最短路径问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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