最短路徑

–在網絡中，求兩個不同頂點之間的所有路徑中，邊的權值之和最小的路勁。

單源最短路徑

–從某固定源點出發的最短路徑

無權圖的最短路徑

• 按照路徑長度遞增的順序找出源點到各個頂點的最短路徑

• 類似于BFS-寬度優先遍歷，可以通過隊列來實現，

  • 先讓頂點入隊，循環執行下列步驟
  • 出隊首元素，訪問其所有鄰接點
  • 標明源點到這些鄰接點的路徑長度，并將其入隊

有權圖的最短路徑

Dijkstra算法

• 令第一組為集合S={源點+已經確定最短路徑的頂點v_i}

• 令第二組為未在集合S中的頂點v，定義length成員為源點s到v的最短路徑長度，該路徑除了終點v以外，所有頂點都必須是集合S中的頂點。即{s—>（v_i∈S）—>v}的最小長度

• 每次對未在第一組集合S的頂點，選一個length最小的頂點(記為v)，將其增加至集合S中。

  • 如何選這個頂點V–用一個最小堆H(剛開始只有源點)，每次找出并刪除一個length值最小的頂點V，這里這個找到并刪除的頂點V就是每次加入集合S的頂點，然后找到V的所有鄰接點，對其鄰接點的length值進行賦值，然后加入最小堆H里，往復循環，直至最小堆空了(最小堆空了，即所有頂點都加入了集合S)–看程序就明白了

  • 選進去的時候要注意什么–增加v進集合S中會影響頂點w(w為v的鄰接點)的length值，因為多了個頂點v，可能會改變s—w的走法，原先不經過v，現在最短路徑經過v，即需要考慮

    length[w],與length[v] + e.weigth的大小關系--------(1)

• 直到把所有頂點都送進集合S中

設源點為V0，則按照Dijkstra算法的最短路徑求解過程如下

注：初始的時候只有集合S只有源點s，因此只有到點v1、v2有路徑，路徑長度用length表示，，沒有路徑則length為∞，路徑的終點的前一個點用pre表示。

```C++ class Dist { // Dist類，用于保存最短路徑信息public:int index; // 結點的索引值int length; // 當前最短路徑長度int pre; // 路徑最后經過的結點 };void Dijkstra(Graph& G, int s, Dist* &D) { // s是源點D = new Dist[G. VerticesNum()]; // 開辟空間給類Dist，用來記錄當前最短路徑長度for (int i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) { // 初始化，將圖中所有頂點的標志位記為未訪問，將Dist類的索引值記為頂點號，將頂點到源點的length置為∞。G.Mark[i] = UNVISITED; D[i].index = i; D[i].length = INFINITE;D[i].pre = s;}D[s].length = 0; // 初始化，源點自身的路徑長度置為0MinHeap<Dist> H(G. EdgesNum()); // 最小堆用于找出集合S中到源點的路徑最短的點，最小堆存放Dist類元素，共有G.EdgesNum個長度H.Insert(D[s]); //將源點放入最小堆for (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) {bool FOUND = false;Dist d;while (!H.isEmpty()) {d = H.RemoveMin(); //獲得集合S中到源點s路徑長度最小的結點，并刪除if (G.Mark[d.index] == UNVISITED) { //如果未訪問過則跳出循環FOUND = true; break;} }if (!FOUND) break; // 若沒有符合條件的最短路徑則跳出本次循環int v = d.index; G.Mark[v] = VISITED; // 將標記位設置為 VISITEDfor (Edge e = G.FirstEdge(v); G.IsEdge(e); e = G.NextEdge(e)) // 對最小堆中到源點路徑最短的頂點v，求他的每個鄰接點，并考慮是否需要改變其最小距離--刷新最短路，然后將其加入最小堆if (D[G.ToVertex(e)].length > (D[v].length+G.Weight(e))) {//這里第一次執行時，因為剛開始最小堆里只有源點，其他頂點到源點的length都為∞，執行完后V1、V2的length值才改變D[G.ToVertex(e)].length = D[v].length + G.Weight(e);D[G.ToVertex(e)].pre = v;H.Insert(D[G.ToVertex(e)]);} } }

Dijkstra算法時間復雜度

$$T=O(|V|log|V|+|E|log|V|)=O(|E|log|V|)$$

前半部分為在最小堆里找V次，依次復雜度為logV，后半部分是往最小堆里插入Dist，一次最多有可能插E次(極限情況，一個頂點有E條邊)

Dijkstra使用條件

• 圖中不能出現有總權值為負值的回路
• 如果存在負值邊也有可能發生計算錯誤
• 持負權值的最短路徑算法有Ford算法、SPFA算法

多源最短路徑

–求每對頂點間的最短路徑

Floyd算法

• D<sup>k</sup>[i] [j]表示路徑{ i —> { l<= k } —> j }的最小長度（i、j、l、k表示頂點編號）

• 首先用矩陣D<sup>0</sup>表示該圖的鄰接矩陣

• 在矩陣D<sup>0</sup>上做n次迭代

• 如何迭代呢–當D<sup>k-1</sup>已經完成，遞推到D<sup>k</sup>時，

  • 若k?最短路徑{ i —> { l<= k } —> j }，(即i到j的最短路徑不經過k)則D<sup>k</sup>=D<sup>k-1</sup>

  • 若k∈最短路徑{ i —> { l<= k } —> j }(即i到j的最短路徑經過k)，則該最短路徑由兩條路徑組成:
    $$D(k)[i][j]=D(k?1)[i][k]+D(k?1)[k][j]$$

cpp void Floyd(Graph& G, Dist** &D) {int i,j,v;D = new Dist*[G.VerticesNum()]; // 申請空間，申請一個與鄰接矩陣等大的Dfor (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++)D[i] = new Dist[G.VerticesNum()];// 初始化數組Dfor (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++) for (j = 0; j < G.VerticesNum(); j++) {if (i == j) { D[i][j].length = 0;D[i][j].pre = i; }else { D[i][j].length = INFINITE; D[i][j].pre = -1; } }//對D0矩陣進行賦值，讓其與鄰接矩陣相同for (v = 0; v < G.VerticesNum(); v++)for (Edge e = G.FirstEdge(v); G.IsEdge(e); e = G.NextEdge(e)) {D[v][G.ToVertex(e)].length = G.Weight(e);D[v][G.ToVertex(e)].pre = v; }// 加入新結點后，更新那些變短的路徑長度for (k = 0; k< G.VerticesNum(); k++)for (i = 0; i < G.VerticesNum(); i++)for (j = 0; j < G.VerticesNum(); j++)if (D[i][j].length > (D[i][k].length+D[k][j].length)) {D[i][j].length = D[i][k].length+D[k][j].length; D[i][j].pre = D[k][j].pre;//第k次迭代，考慮在加入編號為k的頂點的情況下，是否需要更新i、j之間的路徑長度} }

Floyd算法時間復雜度

$$T=O(|V|3)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图的最短路径--单源、多源最短路径的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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