有這樣一道題：在一個圖（如圖所示）中，一共有四個點：1 2 3 4

這四個點之間各有相連，且每條邊都有自己的權值。現在小明在點1上，

他想要到3去，請問最短路徑是多少。

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很容易得到該圖的鄰接矩陣。我們建立一個二維數組a。a[i][j]，i表示
起點，為行，j表示終點，為列。將相應的權值傳入其中，如果從一個
點到另一個點不通，就認為其權值為無限

例如（1-》2）為2，則a[1][2]=2；
而因為2到1不通，就令a[2][1]=∞；
另外a[1][1]之類的起點終點相同的都設為了0；

對這種求點i到點j的最短路徑的問題，很難直接求得。通常是要多求一
些多余的量才能得到結果。因為我們必須要做好遍歷全圖的準備才能比
較或是尋找出其最短路徑。

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這時候我們來介紹兩種算法：

• 一種是Dijkstra算法單源最短路徑算法；
• 一種是Floyd多元路徑最短算法；

今天只說單源最短路徑算法
所謂單源，即求從一個點出發，到其他各點的最短路徑，也就是說
如果這個圖有n個點，我們要求n-1個路徑。
對一個圖G來說，它的點集為V，我們要做的就是求出從起點v到V中其
余各點的最短路徑。

首先介紹單源最短路徑的核心算法：
　起點是v，我們知道在整個圖中，以v為起點的路徑有很多條，有長的。有短的；有的簡單，只有一段弧，只有兩個點：起點。終點。有的復雜，有好幾段弧，起點終點之間隔了好幾個節點。
　我們要做的就是先找到所有這些從v引出的路徑中的最短的那一條（v，…，j1）。
　然后通過某種算法（下文中將會介紹）再找出僅長于最短路徑的次短路徑(v，…，j2)，找到以后，（注意：我們把每一次找到的次短路徑的終點記錄下來，如果下一次找尋的時候遇到以這些點為終點的路徑就忽略掉），再找下一條次短路徑，再找，再找……
　　這里有一個辨析：

按照上述步驟，我們依次找到了整張圖中（具有不同終點的）最短的幾條路徑： （v,…，j1） (v,…，j2) (v,…，j3) …… (v,…，j) ……

這里，如果我們稱圖中所有以v為起點 以j為終點的路徑為j族，那么我們每找到一條次短路徑 （v，…，j），這條路徑（v，…，j）一定是j族中最短的那條。
為什么呢？按照我們的找法，我們實際上是把整張圖里的所有以v為起點的路徑按照從短到長的順序排列起來，然后從第一條路徑開始往后檢索，如果我們從前到后查找時第一次遇到了以j為終點的路徑，記為路徑1，接下來往后，我們遇到的每一條屬于j族的路徑都忽略，從而我們得到了之前的序列。顯然路徑1就是j族中最短的那一條，也是我們的目標路徑之一。

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我們 所要求的是點v到其余各點的最短路徑，其余各點有n-1個，也就是說，我們有n-1個終點，對應n-1個族。對每個族，都有一個對應的最短路徑。我們要做的就是求出每個族的最短路徑。

之前說到，我們要把每一次找到的次短路徑的終點記錄下來，下一次遇到的時候就忽略掉，這可以保證最終的得到的序列都屬于不同的族，我們可以建立一個點集S,每找到一條次短路徑，就將其終點并入集合S中，下一次找尋路徑的時候拿終點與點集S對比，決定是否保留。

就這樣，每一次我們都找到一個以j為終點的最短路徑，而每一次的終點j又都不同，當找了n-1次時，就完成了單源最短路徑查找。

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我們已經了解完了整體的思路，所以現在的關鍵性問題就是如何完成對次短路徑的查找。也就是上文中提到的某種算法，它到底是什么呢？

• 第一步：

  　　一個圖中有許多條路徑，我們現在在圖G中找到以v為起點的最短的那一條路徑（v，j）。顯然我們可以很容易的的發現，這條最短路徑一定是與起點v直接相連的弧，j是v的鄰結點。如圖所示；
  　　

• 第二步：
  　接下來，我們來找次短路徑，也就是以v為起點的下一條最短的路徑。如圖所示我們會發現，次短路徑要么是弧（v，k）（注：k是v相鄰的點，除j外），要么是弧（v，j，k）(k是j緊鄰的點)。
  　這樣，我們通過比較可以求出最短的那一條路徑（v，k）;

然后我們就會猜想，如果按照第二步的做法一直重復下去，不就能依次找到次短路徑了嗎？
但是，事實上，當我們嘗試之后會發現，隨著不斷地重復查找次短路徑的過程，我們不能單純的像第二次查找那樣，因為每一次的查找都會衍生很多分支。使得查找變得復雜。

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怎么解決這個問題呢？為了方便理解我引入了一個觀測域的概念。

首先看一些定義：

• 點集Ｖ　圖中所有點的集合
• 點集S 　已經找到相應最短路徑的終點集合
• 數組Ｄ［ｎ］　存儲觀測域內能觀測到的最短路徑，算上起點一共ｎ個數值 。比如D[k]對應在觀測域中能觀測到的，k族中的最短路徑。
• 鄰接矩陣ａ［ｎ］［ｎ］　　存儲著相應的權值

如圖所示：剛開始時，我立足于ｖ點，觀測域為ｖ點的四周，即ｖ的所有鄰接點。由鄰接矩陣ａ，更新數組Ｄ。此時D中的數為（ｖ，ｋ）的權值（ｋ為ｖ的鄰接點）。
　

隨后，我在我觀測域中找尋最短的那一條路徑（ｖ，ｊ）也就是查找數組Ｄ中最小的數，并將ｊ收入集合Ｓ中。

如圖所示：現在我想找次短路徑，現在我清楚，這條次短路徑要么是（ｖ，ｋ）（ｋ為觀測域中的點，但不屬于Ｓ）的最短邊，要么是通過ｊ點的弧（ｖ，ｊ，ｋ）（ｋ為ｊ的鄰接點，但不屬于S）的最短邊。

我們干脆將ｊ的鄰接點全都納入觀測域，同時更新數組Ｄ，通過數組D找出次短邊（ｖ,ｊ），再將ｊ壓入S中。

不斷重復該步驟，直到所有的點都入了Ｓ，就完成了查找，這時數組D
Ｄ［ｋ］就是從ｖ到ｋ的最短路徑的長度。如果你想知道具體的路徑時只需加個棧就行了。

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所以完整的步驟是這樣的：

• 第一步：
  初始化點集Ｓ，將起點ｖ收入Ｓ中。初始化數組Ｄ：Ｄ[k]=a[v][k];

• 第二步：找尋次短路徑。即查找數組D找出觀測域中最短路徑（v，j）：D[j]=min(D[k]|k不屬于S)。將j壓入點集S中

• 第三步：將j的鄰接點并入觀測域，即用j的鄰接點更新數組D：

  如果D[k]>D[j]+a[j][k] (k為j鄰接點，k不屬于S)令D[k]=D[j]+a[j][k]如果D[k]>D[j]+a[j][k] (k為j鄰接點，k不屬于S)就不做操作

然后不斷重復第二步和第三步直到找到全部節點為止。

具體實現為：

#include<iostream> using namespace std; #define BUTONG 1000000 // 無限大為不通 #define NUM 4 //d點數為4 int a[NUM][NUM]={0,2,6,4,BUTONG,0,3,BUTONG,7,BUTONG,0,1,5,BUTONG,12,0}; #define OK 1 #define ERROR 0 typedef int status;bool finish(bool *S,int n) //是否完成 找尋 {for(int i=0;i<n;i++){if(!S[i])return false;}return true; }status djs(int n,int t)//a 為數組 n 為點的個數，v為起始點 {//初始化數組vint D[n];for(int i=0;i<n;i++)D[i]=a[t][i];D[t]=0;//初始化已訪問數集S;bool S[n];for(int i=0;i<n;i++)S[i]=false;S[t]=true;int j=0;int min=BUTONG;while (!finish(S,n)){ j=0;min=BUTONG;for(int i=0;i<n;i++) //找到觀測域中最短路徑（v,j） {if(S[i]) continue;if(min>D[i]) {min=D[i];j=i;} } S[j]=true; //將j納入點集S中 for(int i=0;i<n;i++) //更新觀測域 {if(S[i]) continue;if(D[i]>D[j]+a[j][i])D[i]=D[j]+a[j][i]; }}for(int i=0;i<n;i++) //輸出 {printf("最短路徑是（v,%d）長度是%d\n",i,D[i]);}return OK; } int main() {djs(NUM,1);return 0;}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单源最短路径---Dijkstra算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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