樹和二叉樹

• • • 樹
    • • 樹的定義
      • 樹的存儲結(jié)構(gòu)
      • • 雙親表示法
        • 孩子鏈表
        • 孩子兄弟表示法
    • 二叉樹
    • • 定義
      • 案例引入
      • 樹與二叉樹的抽象數(shù)據(jù)類型定義
      • 二叉樹的性質(zhì)
      • 存儲結(jié)構(gòu)
      • 二叉樹的順序存儲
      • 二叉樹的鏈式存儲*
      • 遍歷二叉樹方法
      • • 先序遍歷法
        • 中序遍歷
        • 后序遍歷
        • 層次遍歷
      • 根據(jù)遍歷序列確定二叉樹
      • 遞歸調(diào)用的步驟
      • 二叉樹遍歷算法的應(yīng)用
      • • 二叉樹的建立
        • 二叉樹的復(fù)制
        • 二叉樹的深度
        • 二叉樹結(jié)點總數(shù)
        • 二叉樹葉子結(jié)點數(shù)
      • 線索二叉樹

樹

樹的定義

• 樹形結(jié)構(gòu)（非線性結(jié)構(gòu)）：結(jié)點之間有分支；具有層次結(jié)構(gòu)
• 例子：（1）自然界：樹；（2）人類社會：家譜、行政組織機構(gòu)；（3）計算機領(lǐng)域：①編譯：用樹表示源程序的語法結(jié)構(gòu) ②數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)：用樹組織信息；③算法分析：用樹描述執(zhí)行過程
• 樹是n個結(jié)點的有限集，樹的定義顯然是遞歸結(jié)構(gòu)
• 樹的其他表示方式
  
• 樹的基本術(shù)語
  （1）結(jié)點：數(shù)據(jù)元素以及指向子樹的分支
  （2）根結(jié)點：非空樹中無前驅(qū)結(jié)點的結(jié)點
  （3）結(jié)點的度：結(jié)點擁有的子樹數(shù)
  （4）樹的度：樹內(nèi)各結(jié)點的度的最大值
  （5）葉子結(jié)點：終端結(jié)點，度=0
  （6）分支結(jié)點：非終端結(jié)點，度≠0
  （7）內(nèi)部結(jié)點：根結(jié)點以外的分支結(jié)點
  （8）孩子、雙親：結(jié)點的子樹的根稱為該結(jié)點的孩子，該結(jié)點稱為孩子的雙親
  （9）兄弟、堂兄弟
  （10）祖先：從根到該結(jié)點所經(jīng)分支上的所有結(jié)點
  （11）子孫：以某結(jié)點為根的子樹中的任一結(jié)點
  （12）樹的深度（高度）：樹中結(jié)點的最大層次，根結(jié)點到最底層的最短路徑
  （13）有序樹：樹中結(jié)點的各子樹從左至右有次序（最左邊的為第一個孩子
  （14）無序樹：樹中結(jié)點的各子樹無次序
  （15）森林：是m(m≥0)棵互不相交的樹的集合
  把根節(jié)點刪除的樹就成了森林
  一棵樹可以看成是一個特殊的森林；給森林中的各子樹加上一個雙親結(jié)點，森林就變成了樹
  因此，樹一定是森林，森林不一定是樹

樹的存儲結(jié)構(gòu)

雙親表示法

實現(xiàn)：定義結(jié)構(gòu)數(shù)組；存放樹的結(jié)點，每個結(jié)點含兩個域：

• 數(shù)據(jù)域：存放結(jié)點本身的信息
• 雙親域：指示本結(jié)點的雙親結(jié)點數(shù)組中的位置
  
  特點：找雙親容易，找孩子難
  

孩子鏈表

孩子兄弟表示法

又叫二叉樹表示法/二叉鏈表表示法
實現(xiàn)：用二叉鏈表作樹的存儲結(jié)構(gòu)，鏈表中每個結(jié)點的兩個指針域分別指向其第一個孩子結(jié)點和下一個兄弟結(jié)點
typedef struct CSNode {
ElemType data;
struct CSNode *firstchild, *nextsibling;
}CSNode, *CSTree;

二叉樹

定義

二叉樹的結(jié)構(gòu)最簡單，規(guī)律性最強；可以證明，所有的樹都能轉(zhuǎn)為唯一對應(yīng)的二叉樹，不失一般性
普通樹若不轉(zhuǎn)化為二叉樹，運算很難實現(xiàn)

二叉樹是n（n≥0）個結(jié)點的有限集，它或者是空集，或者是由一個根節(jié)點及兩棵互不相交的分別稱為這個根的左子樹和右子樹的二叉樹組成

特點：
（1）每個結(jié)點最多有倆孩子（二叉樹中不存在度大于2的結(jié)點）
（2）子樹有左右之分，次序不能顛倒
（3）二叉樹可以是空集合，根可以有空的左子樹或空的右子樹

注意事項

二叉樹也并非有序樹，而是一種獨立的概念

雖然二叉樹與樹的概念不同，但是有關(guān)樹的基本術(shù)語對二叉樹都適用

案例引入

樹壓縮問題
將數(shù)據(jù)文件轉(zhuǎn)換為由0、1組成的二進制串，稱之為編碼

利用二叉樹求解表達式的值

樹與二叉樹的抽象數(shù)據(jù)類型定義

相似，因此主要研究二叉樹的抽象數(shù)據(jù)類型定義

主要基本操作
CreateBiTree(&T,definition) //初始條件：definition給出二叉樹T的定義 操作結(jié)果：按definition構(gòu)造二叉樹
PreOrderTraverse(T) //初始條件：二叉樹T存在 操作結(jié)果：先序遍歷T，對每個結(jié)點訪問一次
InOrderTraverse(T) //初始條件：二叉樹T存在 操作結(jié)果：中序遍歷T，對每個結(jié)點訪問一次
PostOrderTraverse(T) //初始條件：二叉樹T存在 操作結(jié)果：后序遍歷T，對每個結(jié)點訪問一次

二叉樹的性質(zhì)

滿二叉樹：一棵深度為k且有2^k-1個結(jié)點的二叉樹稱為滿二叉樹
特點：①每一層上的結(jié)點數(shù)都是最大結(jié)點數(shù)（每層都滿）②葉子結(jié)點全部在最底層
編號：①規(guī)則：從根結(jié)點開始，自上而下，自左而右 ②每一結(jié)點的位置都有元素

完全二叉樹：

注意：在滿二叉樹中，從最后一個節(jié)點開始，連續(xù)去掉任意個結(jié)點，即是一棵完全二叉樹
特點：①葉子只可能分布在層次最大的兩層上 ②對任一結(jié)點，如果其右子樹的最大層次為i，則其左子樹的最大層次必為i或i+1
滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹

性質(zhì)：

在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結(jié)點(i≥1),至少有1個結(jié)點(不然沒有第i層)

深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結(jié)點(k≥1),至少有k個結(jié)點

對任何一棵二叉樹T，如果其葉子數(shù)為n0，度為2的結(jié)點數(shù)為n2，則n0 = n2+1
證明：邊數(shù)m = 結(jié)點n - 1（每個結(jié)點與雙親結(jié)點有一條邊，除了根結(jié)點）//邊數(shù)m = 2n2+n11(度為2的n2產(chǎn)生2條邊，度為1的n1產(chǎn)生1條邊)
∴n-1 = 2n2+1n1 ,又∵n = n0+n1+n2 ∴n0 = n2+1

存儲結(jié)構(gòu)

順序存儲結(jié)構(gòu)+鏈式存儲結(jié)構(gòu)(二叉鏈表+三叉鏈表)

二叉樹的順序存儲

實現(xiàn)：按滿二叉樹的結(jié)點層次編號，依次存放二叉樹中的數(shù)據(jù)元素

定義：typedef TElemType SqBiTree[MAXSIZE]
SqBiTree bt; //定義了bt數(shù)組

缺點：①大小固定 ②可能浪費空間

結(jié)點間的關(guān)系蘊含在其存儲中，適合滿二叉樹和完全二叉樹

二叉樹的鏈式存儲*

二叉鏈表的定義：
typedef struct BiNode {
TElemType data;
struct BiNode * lchild, *rchild; //左右孩子指針
}BiNode, *BiTree;

三叉鏈表的定義
typedef struct TriTNode {
TElemType data;
struct TriTNode *lchild,*rchid,*parent;
}

遍歷二叉樹方法

定義：順著某一條搜索路徑巡防二叉樹中的結(jié)點，使每個二叉樹均被訪問一次，而且僅被訪問依次(又稱周游)

訪問的定義很廣，可以是對結(jié)點做各種處理，如：輸出結(jié)點的信息，修改結(jié)點的數(shù)據(jù)值等，但要求這種訪問不破壞原來的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

目的：得到樹中所有結(jié)點的一個線性排列

用途：是樹結(jié)構(gòu)插入、刪除、修改、查找和排序運算的前提，是二叉樹一切運算的基礎(chǔ)和核心

遍歷方法：6種方法(可先右子樹，再左子樹的三種)

先根（序）遍歷：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）訪問根節(jié)點（2）先序遍歷左子樹（3）先序遍歷右子樹

中根（序）遍歷：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）中序遍歷左子樹（2）訪問根節(jié)點（3）中序遍歷右子樹

后根（序）遍歷：若二叉樹為空，則空操作；否則（1）后序遍歷左子樹（2）后序遍歷右子樹（3）訪問根節(jié)點
由上可知，遍歷時用遞歸操作

先序遍歷法

若二叉樹為空，則空操作；
否則：
（1）訪問根節(jié)點
（2）先序遍歷左子樹
（3）先序遍歷右子樹

• 先序遍歷：ABELADHMIJ
  遞歸算法

if (T ==NULL) return OK; //空二叉樹 else {visit(T); //訪問根結(jié)點PreOrderTraverse(T->lchild); //遞歸遍歷左子樹PreOrderTraverse(T->rchild); //遞歸遍歷右子樹 }

非遞歸算法
思路：

根結(jié)點非空，進棧

中序遍歷

若二叉樹為空，則空操作；
否則：
（1）中序遍歷左子樹
（2）訪問根節(jié)點
（3）中序遍歷右子樹

• 中序遍歷：ELBAMHIDJ
  遞歸算法

if (T == NULL) return OK; else {InOrderTraverse(T->lchild);visit(T);InOrderTraverse(T->rchild); }

非遞歸算法
關(guān)鍵：在中序遍歷過某結(jié)點的整個左子樹后，如何找到該結(jié)點的根以及右子樹
基本思想：

建立一個棧

根結(jié)點進棧，遍歷左子樹

根結(jié)點出棧，輸出根結(jié)點，遍歷右子樹

BiTree p; IntiStack(S); p = T; while (p || !StackEmpty(S)) {if (p) {Push(S,p); p = p->lchild;}else {Pop(S,q); printf("%c",q->data); p = q->rchild;} } return OK;

后序遍歷

若二叉樹為空，則空操作；
否則：
（1）后序遍歷左子樹
（2）后序遍歷右子樹
（3）訪問根節(jié)點

• 后序遍歷：LEBMIHJDA
  遞歸算法：

if (T == NULL) return OK; else {PostOrderTraverse(T->lchild);PostOrderTraverse(T->rchild);visit(T); }

其中先序的結(jié)果叫做前綴表示（波蘭式）
中序的結(jié)果叫做中綴表示
后序的結(jié)果叫做后綴表示（逆波蘭式）

層次遍歷

對于一棵二叉樹，從根結(jié)點開始，從上到下，從左到右的順序訪問每一個結(jié)點，每個結(jié)點僅僅訪問一次
算法設(shè)計思路：使用一個隊列
Ⅰ將根結(jié)點進隊
Ⅱ隊不空時循環(huán)：從隊列中出列一個結(jié)點*p，訪問它；
①若它有左孩子結(jié)點，將左孩子結(jié)點進隊
②若它有右孩子結(jié)點，將右孩子結(jié)點進隊

void LevelOrder(BTNode * b) {BTNode *p; SqQueue *qu;IntiQueue(qu); //初始化隊列enQueue(qu,b); //根結(jié)點指針進入隊列while (!QueueEmpty(qu)) {deQueue(qu,p); //出隊結(jié)點pprintf("%c", p->data); //訪問結(jié)點pif (p->lchild != NULL) enQueue(qu, p->lchild); //有左孩子時將其進隊if (p->rchild != NULL) enQueue(qu, p->rchild); //有右孩子時將其進隊} }

根據(jù)遍歷序列確定二叉樹

• 先序序列和中序序列
  eg：
  先序：ABCDEFGHIJ
  中序：CDBFEAIHGJ
• 后序：DCFEBIHJGA
• 中序序列和后序序列
  eg：
  中序：BDCEAFHG
  后序：DECBHGFA
• 先序：ABCDEFGH

遞歸調(diào)用的步驟

時間效率：O（n） //每個結(jié)點只訪問一次
空間效率：O（n） //棧占用的最大輔助空間

二叉樹遍歷算法的應(yīng)用

二叉樹的建立

僅輸入ABCDEGF所得的樹不唯一
對如圖所示的二叉樹，輸入字符：ABC##DE#G##F###，僅得到左邊的樹

Status CreateBiTree(BiTree &T) {scanf(&ch);if (ch == '#') T = NULL;else {if (! (T = (BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode))) ) exit (OVERFLOW);T->data = ch;CreateBiTree(T->lchild); //構(gòu)造左子樹CreateBiTree(T->rchild); //構(gòu)造右子樹}return OK; }

二叉樹的復(fù)制

如果是空樹，遞歸結(jié)束
否則，申請新結(jié)點空間，復(fù)制根結(jié)點

• 遞歸復(fù)制左子樹
• 遞歸復(fù)制右子樹

int Copy(BiTree T,BiTree &NewT) {if (T == NULL) {NewT = NULL; return 0;}else {NewT = (BiTree)malloc(sizeof(BiNode));NewT->data = T->data;Copy(T->lChild, NewT->lchild);Copy(T->rChild, NewT->rchild);} }

二叉樹的深度

如果是空樹，則深度為0
否則，遞歸計算左子樹的深度記為m，遞歸計算右子樹的深度記為n，二叉樹的深度則為m與n的較大者+1

int Depth(BiTree T) {if (T == NULL) return 0; //如果是空樹，返回0else {m = Depth(T->lchild);n = Depth(T->rchild);if (m > n) return (m+1);else return (n+1);} }

二叉樹結(jié)點總數(shù)

如果是空樹，則結(jié)點個數(shù)為0；
否則，結(jié)點個數(shù) = 左子樹的結(jié)點個數(shù) + 右子樹的結(jié)點個數(shù) + 1

int NodeCount(BiTree T) {if (T == NULL) return 0;else return NodeCount(T->lchild) + NodeCount(T->rchild) + 1; }

二叉樹葉子結(jié)點數(shù)

如果是空樹，則葉子結(jié)點個數(shù)為0
否則，為左子樹的葉子結(jié)點個數(shù)+右子樹的葉子結(jié)點個數(shù)
注：葉子結(jié)點：左子樹和右子樹均為空

int LeafCount(BiTree T) {if (T == NULL) return 0; //如果是空樹，返回0if (T->lchild== NULL && T->rchild == NULL) return 1; //如果是葉子結(jié)點返回1else return LeafCount(T->lchild) + LeafCount(T->rchild); }

線索二叉樹

如果某個結(jié)點的左孩子為空，則將空的左孩子指針域改為指向其前驅(qū)；如果某個結(jié)點的右孩子為空，則將空的右孩子指針域指向其后繼，這種改變指向的指針稱為“線索”
加上了線索的二叉樹稱為線索二叉樹
對二叉樹按某種遍歷次序使其變?yōu)榫€索二叉樹的過程叫線索化

定義：
typedef struct BiThrNode {
int data;
int ltag, rtag;
struct BiThrNode *lchild, *rachild;
}BiThrNode, *BiThrTree;

eg：



改進

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的树——树和二叉树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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