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• 題目描述
• 題解
• 思路1 暴力遞歸
• 思路2：緩存思想——動態規劃來優化暴力遞歸

題目描述

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題解

思路1 暴力遞歸

??我們利用遞歸來解決這個問題，不妨這樣思考，假設apples表示當前剩余的蘋果數，plates表示當前剩余的盤子數，ways(apples, plates)表示以apples個蘋果放進plates個盤子里的方法數。
??如果apples==0，說明當前蘋果都已經放完了，既然放完了，不管剩不剩盤子，這都是一種放的方法，向上一層返回1；
??否則apples不為0的時候，如果plates==0了，盤子已經被用完了但是蘋果沒放完，這種情況顯然是擺放失敗了，不是一種擺放的方法，向上一層返回0;
??再考慮一種特殊情況，當盤子數大于蘋果數時，那么蘋果怎樣也不可能放到多出來的盤子上，這種情況下的擺放方法數顯然和盤子減少為$plates?apples$個，apples個蘋果的擺放方法數是一樣多的，因此
$$\begin{gathered} if(apples<plates), \\ ways(apples,plates)=ways(apples,plates?apples) \end{gathered}$$
??當剩余的蘋果數量大于盤子數量時，我們有兩種互斥的擺法：
??一種，我們用上所有的盤子,也就是先讓所有的盤子都擺上一個蘋果，那么這種方式的擺法數量a顯然等于$ways(apples?plates,plates)$;
??另一種方法，我們不用上所有的盤子，那么怎么才能不用上所有的盤子呢？先放棄一個盤子，剩下的盤子是放棄還是保留交給遞歸來討論。也就是說，不完全使用所有盤子的擺放方法數量b等于$ways(apples,plates?1)$.
??這兩種情況顯然是互斥的，所以他們的方法數可以直接相加，也就是說
$$\begin{gathered} if(apples>plates) \\ ways(apples,plates)=ways(apples?plates,plates) \\ +ways(apples,plates?1) \end{gathered}$$
代碼：

int ways(int apples, int plates) {//apples個完全相同的蘋果放到plates個完全相同的盤子里//有多少種方法//如果蘋果用完了 說明擺放結束了 返回一種擺法if (apples == 0) {return 1;}//如果plates等于0了 apples不等于0還 那么說明沒有盤子用了//0種擺法if (plates == 0) {return 0;}//如果盤子數大于蘋果數 那么多出來的盤子不論什么擺法一定空著//這種情況下的擺法數等于把多出來的盤子都不考慮的擺法數if (plates > apples) {return ways(apples, apples);}//當蘋果數大于盤子數的時候 有兩種方法//1) 我們把所有的盤子都使用 那么相當于先往所有盤子上都放一個蘋果// 這種方法的方法數等于ways(apples - plates, plates)int a = ways(apples - plates, plates);//2) 我們讓盤子不全都使用 那么就敲碎一個盤子 //剩下的盤子全用還是敲碎一個 總可能方法數用遞歸去討論int b = ways(apples, plates - 1);//這兩種情況顯然是互斥的 所以數量可以直接加return a + b; }

思路2：緩存思想——動態規劃來優化暴力遞歸

??所有的暴力遞歸的展開過程都可以用動態規劃來優化.我們想想遞歸是怎么解決問題的，比如遇到ways(7, 5)，它是展開為ways(7,4)和ways(2,5)來解決的，然后ways(2,5)和ways(7,4)再接著展開，那如果我們之前早就計算過ways(2,5)了呢,如果已經計算過一次了，還有必要再接著展開嗎？直接用上次計算的結果不就好了，這樣不就可以把遞歸層數變淺了嗎。
??那么怎么記錄上次計算的結果呢？這里可以用一個二維數組dp緩存存起來，并且考慮到多組輸入問題，我們可以把創建二維數組dp的過程放到執行ways方法外頭，這樣下一組輸入也可以使用我們上一輪計算過的值。
??為了和0種方法區分，我們不妨先讓dp的所有值都賦-1，表示尚未計算過，在遞歸的每一層都檢查當前層中dp的是否不等于-1，如果是，說明這層沒必要繼續展開下去了，已經計算過了，返回$dp[apples][plates]$,否則再執行展開過程，并且最后把這一層的計算結果記錄到dp中作為緩存。

代碼：

#include <vector> #include <iostream> using namespace std; int ways(int apples, int plates, vector<vector<int>>& dp) {if (dp[apples][plates] != -1){return dp[apples][plates];}int ans = 0;if (apples == 0){ans = 1;}else if (plates == 0){ans = 0;}else if (apples < plates){ans = ways(apples, apples, dp);}else{int a = ways(apples - plates, plates, dp);int b = ways(apples, plates - 1, dp);ans = a + b;}dp[apples][plates] = ans;return ans; }int main() {int apples, plates;vector<vector<int>> dp(11, vector<int>(11, -1));while (cin >> apples >> plates){cout << ways(apples, plates, dp) << endl;}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法题放苹果：把M个相同的苹果放到N个完全相同的盘子里，有多少种放法?的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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