題目不復雜，主要是數學的計算，常用公式要熟練

寫得比較啰嗦，把整個解題過程都寫出來了，步驟都沒有省略，認真看，基本都能看懂

題目描述

一個稀疏平常的下午，潤德樓 5 樓奧賽機房里的人們正在各自做（劃）各自的事（水）：
有的人打開了 majsoul：“自摸 nya，四暗刻，48000點，翻一啦”
有的人打開了 hollow knight：“小老弟，怎么回事？你的前搖怎么這么長？”
有的人打開了 tetris：“Nice！Perfect-clear！”
有的人打開了 hearth stone：“4費7-7，這卡太超模了”
而你卻打開了 qq：“…”被 czhou 爆 D 的你只好下來跑步，你發現操場是個由 n 個矩形拼接而成的圖形，且每個矩形都過一條“中軸線”。
具體來說，若將操場放在一個平面直角坐標系上，則操場可以由 n 個四元組 (x1i,y1i,x2i,y2i)表示，其中對于 i∈[2,n],y2i?1=y1i ，對于 j∈[1,n],x1i≤?1,x2i≥1。由于你劃水太多，czhou 罰你將操場的每對格點跑過去。
具體的說，每次你會選取兩個 1×1的正方形 A,B，在操場內沿著曼哈頓最短路從 A 跑到 B（格點是四連通的）。且如果你已經從 A跑到 B，則無需再從 B 跑到 A。
跑完之后，你想知道你今天跑了多長。為了體現 czhou 的良心，只需輸出答案對模 998 244 353的結果。

題目簡潔表示

n組數據，對于每一組數據，在一個平面直角坐標系上，用四元組$(x1,y1,x2,y2)$來表示一個操場，現求操場中每對格子之間的曼哈頓最短路距離之和，輸出答案對模 $998244353$的結果。

輸入

• 第一行一個正整數 $n(n<=10^6)$，表示矩形個數。
• 第二到 $n+1$ 行，每行四個整數 $x1,y1,x2,y2(|x1,y1,x2,y2|<=10^9)$，表示從上到下數第 $i$ 個矩形的左邊界坐標，上邊界坐標，右邊界坐標，下邊界坐標。

輸出

• 一行一個整數，表示距離之和模 $998244353$

樣例輸入

1 -1 1 1 -1

樣例輸出

8

提示

其中一共有6對格點 分別為： 黃到綠，距離為1； 黃到紫，距離為1； 黃到紅，距離為2； 綠到紫，距離為2； 綠到紅，距離為1； 紫到紅，距離為1； 所以總距離為1+1+2+2+1+1=8

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個人題目思路

• 需要用到的公式

  • $$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

  • $$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

  • $$\sum _{i=1}^n{i}^3=[\frac{n(n+1)}{2}{]}^2$$

  • $$\sum _{i=1}^{n}i(i+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

坐標給出，只是為了得出矩形的長寬，現設短邊為a，長邊為b $(a<=b)$

畫畫圖可以發現，假設$a=4,b=6$

123456

2	3	4	5	6	7
3	4	5	6	7	8
4	5	6	7	8	9

從短邊對角線的方向看，可以得出，每條對角線上的元素個數

對角線1元素個數: 1
對角線2元素個數: 2
對角線3元素個數: 3
對角線4元素個數: 4
對角線5元素個數: 4
對角線6元素個數: 4
對角線7元素個數: 3
對角線8元素個數: 2
對角線9元素個數: 1

在我們計算答案的時候可以發現:

• 距離為1的點對的個數為$1?2+2?3+3?4+4?4+4?4+4?3+3?2+2?1$

• 距離為2的點對的個數為$1?3+2?4+3?4+4?4+4?3+4?2+3?1$

但是如果這樣計算我們會發現，需要線性掃多遍才能得出答案，這樣時間復雜度是過不去的

我們又可以發現每次計算時，是有兩種對角線方向的，那么對于距離為1的點對單獨求，而對于距離大于1的點對可以只用算一遍，然后乘2即可

為了解決時間復雜度的問題，換一種計算思路可以發現：

• 在對角線2中有2個元素，其中存在1種距離為2，即答案為$2?1$

• 在對角線3中有3個元素，其中存在2種距離分別為2，4，即答案為$2?2+4?1$

• 在對角線4中有4個元素，其中存在3種距離分別為2，4，6，即答案為$2?3+4?2+6?1$

• 類推下去可得：

• 對于某條對角線，其中有n個元素，即答案貢獻為${\sum }_{i=1}^{n?1}2i(n?i)$

• 這里是沒有統計距離為1的點對的貢獻，因此需要單獨統計距離為1的點對的貢獻

  • $1?2+2?3+3?4+4?4+4?4+4?3+3?2+2?1$

• 因此最終答案為$\sum （一個方向所有對角線的貢獻）?2+距離為1的點對的貢獻$

通過觀察可以發現，對于矩形$a\times b$，短邊對角線元素個數為:
$$1,2,3,4,???,a,a,???,a,???,4,3,2,1$$ 其中含有$(b?a+1)$個$a$

因此所有對角線的貢獻為：

$$tmp1=2?[2\sum _{x=2}^{a?1}\sum _{i?1}^{x?1}2i(x?i)+(b?a+1)\sum _{i=1}^{a?1}2i(a?i)]$$

距離為1的點對的貢獻為：

$1?2+2?3+???+(a?1)?a+a?a+???+a?a+a?(a?1)+???+3?2+2?1$
$$=2\sum _{i=1}^{a?1}i(i+1)+(b?a)?a^2=tmp2$$

因此最終答案為：$ans=tmp1+tmp2$

$$=2?[2\sum _{x=2}^{a?1}\sum _{i?1}^{x?1}2i(x?i)+(b?a+1)\sum _{i=1}^{a?1}2i(a?i)]+2\sum _{i=1}^{a?1}i(i+1)+(b?a)?a^2$$

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用我們準備的公式來化簡這看似復雜的式子：

$$tmp1=2?[2\sum _{x=2}^{a?1}(2x\sum _{i=1}^{x?1}i?2\sum _{i=1}^{x?1}{i}^2)+(b?a+1)(2a\sum _{i=1}^{a?1}i?2\sum _{i=1}^{a?1}{i}^2)]$$

$$=2?\{2\sum _{x=2}^{a?1}[x?x(x?1)?\frac{(x?1)x(2x?1)}{3}]+(b?a+1)[a?a(a?1)?\frac{(a?1)a(2a?1)}{3}]\}$$

$$=2?[\frac{2}{3}\sum _{x=2}^{a?1}(x^3?x)+(b?a+1)(\frac{a^3}{3}?\frac{a}{3})]$$

$$=2?\{\frac{2}{3}[\sum _{x=1}^{a?1}(x^3?x)?(1?1)]+(b?a+1)(\frac{a^3}{3}?\frac{a}{3})\}$$

$$=2?[\frac{2}{3}(\sum _{x=1}^{a?1}{x}^3?\sum _{x=1}^{a?1}x)+(b?a+1)(\frac{a^3}{3}?\frac{a}{3})]$$

$$=2?\{\frac{2}{3}[\frac{(a?1)a}{2}{]}^2?\frac{a(a?1)}{3}+(b?a+1)(\frac{a^3}{3}?\frac{a}{3})\}$$

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$$tmp2=2\sum _{i=1}^{a?1}i(i+1)+(b?a)?a^2$$

$$=2\frac{(a?1)a(a+1)}{3}+b{a}^2?a^3$$

$$=b{a}^2?\frac{a^3}{3}?\frac{2}{3}a$$

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那么tmp1和tmp2都可以$O(1)$計算出來了，由于有分母，那么預處理一下2和3的逆元就行了

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline") #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<vector> #include<ctime>using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long uLL;#define REP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++ i) #define DREP(i, a, b) for(register int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; -- i) #define EREP(i, a) for(register int i = (be[a]); i != -1; i = nxt[i]) #define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__) #define mem(a, b) memset((a), b, sizeof(a))template<typename T> inline bool chkmin(T &a, const T &b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; } template<typename T> inline bool chkmax(T &a, const T &b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }template <class T> T read(T sum = 0, T fg = 0) {char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') { fg |= c == '-'; c = getchar(); }while(c >= '0' && c <= '9') { sum = sum * 10 + c - '0'; c = getchar(); }return fg ? -sum : sum; }const int inf = 1e9;const LL INF = 1e17;const int Size = 3e5 + 5;const LL mod = 998244353;LL qpow(LL a, LL N) {LL ans = 1LL;while(N){if(N & 1LL) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;N >>= 1LL;}return ans % mod; }LL inv3, inv2;void solve() {LL x1 = read<LL>(), y1 = read<LL>(), x2 = read<LL>(), y2 = read<LL>();LL a = x2 - x1, b = y2 - y1;if(a < 0) a = -a;if(b < 0) b = -b;if(a > b) swap(a, b);LL ans = ((qpow(a, 3) * inv3 % mod - a * inv3 % mod) % mod + mod) % mod;ans = ans * (b - a + 1) % mod;LL tmp = qpow((a - 1) * a % mod * inv2 % mod, 2) * 2LL % mod * inv3 % mod;tmp = (((tmp - a * (a - 1) % mod * inv3 % mod) % mod) + mod) % mod;ans = (ans + tmp) * 2LL % mod;ans = (ans + (a - 1) * a % mod * (a + 1) % mod * inv3 % mod * 2LL % mod) % mod;ans = (ans + (b - a) * qpow(a, 2) % mod) % mod;printf("%lld\n", (tmp + ans) % mod); }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("input.in", "r", stdin);freopen("output.out", "w", stdout); #endifinv2 = qpow(2, mod - 2);inv3 = qpow(3, mod - 2);int n = read<int>();while(n--) solve();return 0; }

第一次寫這么復雜的數學題，代碼簡單，主要還是推式子

總結

以上是生活随笔為你收集整理的FZ操场（数学，推公式）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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