一個機器人位于一個 m x n?網格的左上角 （起始點在下圖中標記為 “Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為 “Finish” ）。

問總共有多少條不同的路徑？

?

示例 1：

輸入：m = 3, n = 7 輸出：28

示例 2：

輸入：m = 3, n = 2 輸出：3 解釋： 從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。 1. 向右 -> 向右 -> 向下 2. 向右 -> 向下 -> 向右 3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：

輸入：m = 7, n = 3 輸出：28

示例 4：

輸入：m = 3, n = 3 輸出：6

?

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 題目數據保證答案小于等于 2 * 10⁹

DFS

今天這題那么簡單？？？直接深搜就能出結果？？？不可能吧。

Python

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:def dfs(x: int, y: int):# print(f"x = {x}, y = {y}")if x == m - 1 and y == n - 1:return 1if x > m - 1 or y > n - 1:return 0return dfs(x + 1, y) + dfs(x, y + 1)return dfs(0, 0)

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果然超時了，沒過，DFS不行那就得DP了。

DP

我們用 $f(i,j)$ 表示從左上角走到 $(i,j)$ 的路徑數量，其中 $i$ 和 $j$ 的范圍分別是 $[0,m)$ 和 $[0,n)$。

由于我們每一步只能從向下或者向右移動一步，因此要想走到 $(i,j)$，如果向下走一步，那么會從 $(i?1,j)$ 走過來；如果向右走一步，那么會從 $(i,j?1)$ 走過來。因此我們可以寫出動態規劃轉移方程：

$$f(i,j)=f(i?1,j)+f(i,j?1)$$

需要注意的是，如果 $i=0$，那么 $f(i?1,j)$ 并不是一個滿足要求的狀態，我們需要忽略這一項；同理，如果 $j=0$，那么 $f(i,j?1)$ 并不是一個滿足要求的狀態，我們需要忽略這一項。

初始條件為 $f(0,0)=1$，即從左上角走到左上角有一種方法。

最終的答案即為 $f(m?1,n?1)$。

Python

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:dp = [[1] * n] + [[1] + [0] * (n - 1) for _ in range(m - 1)]for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]return dp[m - 1][n - 1]

復雜度分析

• 時間復雜度：$O(mn)$。

• 空間復雜度：$O(mn)$，即為存儲所有狀態需要的空間。注意到 $f(i,j)$ 僅與第 $i$ 行和第 $i?1$ 行的狀態有關，因此我們可以使用滾動數組代替代碼中的二維數組，使空間復雜度降低為 $O(n)$。此外，由于我們交換行列的值并不會對答案產生影響，因此我們總可以通過交換 $m$ 和 $n$ 使得 $m\le n$，這樣空間復雜度降低至 $O(\min (m,n))$。

滾動數組實現

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:dp = [[1] * n] + [[1] + [0] * (n - 1)]for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i % 2][j] = dp[abs(i % 2 - 1)][j] + dp[i % 2][j - 1]return dp[abs(m % 2 - 1)][n - 1]

組合數學

從左上角到右下角的過程中，我們需要移動 $m+n?2$ 次，其中有 $m?1$ 次向下移動，$n?1$ 次向右移動。因此路徑的總數，就等于從 $m+n?2$ 次移動中選擇 $m?1$ 次向下移動的方案數，即組合數：

$$C_{m+n?2}^{m?1}=\left(\begin{array}{c}m+n?2\\ m?1\end{array}\right)=\frac{(m+n?2)!}{(m?1)!(n?1)!}$$

Python

class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:return comb(m + n - 2, n - 1)

復雜度分析

• 時間復雜度：$O(m)$。由于我們交換行列的值并不會對答案產生影響，因此我們總可以通過交換 $m$ 和 $n$ 使得 $m\le n$，這樣空間復雜度降低至 $O(\min (m,n))$。

• 空間復雜度：$O(1)$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《每日一题》62. Unique Paths 不同路径的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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